Функи::,!

.0 \

является периодической по уг ,..., у„ и секулярной по t. Этого последнего сво11ства функции избежать нельзя, п оно является нежелательным.

Пре.лагаемып здесь выход из создавшейся ситуации заключается в следующем. Определим функцию /о так:

Fo = yi - <o1t + %{уо, ....!/„, ж). Очевидно, эта функция является решенпе.л[ уравнения

(F„,ff„)-bfi = 0.

Тогда уравнение для f i принимает вид

о 9F, , dFi дН, МдН, , tff ... - д---д + Щд (1 о)>

И его решение совпадает с решеним предыдущего уравнения; добавляется только член

\{H„%)dy,.

(О л

Часть этого интеграла, содержащая секулярные члены относптельно Уи будет равна нулю тогда и только тогда, когда выполнено соотношение

+ (Я,з, %) = 0.

Последнее уравнение подсказывает способ, согласно которому надо выбпрать произвольную функцию я]зо. Решенпе этого уравне-

Едпнсгвенным нежелательным таенолЕ, из-за которого могут возникнуть секулярные относительно уг таены, является первый член в правой части уравнения. Более того, этот член в действительности имеет вид

dx дх d% ду

(2.7.16)

где т - произвольный параметр, к = 2, ..., п, а xi надо считать постоянным параметром. Если уи, х найдены из этого уравнения в виде функщп! величины т, то функция Ни затем выражается через т, а получается в виде

После того как интегрирование закончено, функция ifio опять записывается через переменные z/2j • • ч Уп-} <27i, Х2 * • Добавление фо к функции Fo приводит к изменению опорной частоты со?, что. другими словами, и предполагается в методе Линдстедта.

Таким образом, мы установили тесную связь между процедурой определения дополнительных интегралов и интегрированием гамильтоновой системы методом Пуанкаре. Такая же связь, как мы увидим ниже, устанавливает фундаментальное соотношение между методом, использующим ряды и преобразования Ли, и методом, использующим дополнительную систему для характеристик.

8. Методы теории возмущений, основанные на преобразованиях Ли

Этот параграф посвящен описанию (настолько короткому, насколько это возможно) методов теории возмущений, введенных впервые Хори [54]. Как мы уже видели в главе I, вполне естественно генератор S, введенный Хори, считать зависящим от параметра Е и, следовательно, определить каноническое преобразование формулами

1 V 8™ п"»-! S

m-i J

h-Z\s g- {l\,...,n).

(2.8,1)

где i/j - координаты, Xj - импульсы, tjj, \ - соответствующие новые переменные, a S = S{, g, e). Образ любой функции f{y,x,E) в новом фазовом пространстве (т], %) с помощью

нпя в частных производных эквивалентно интегрированию характеристик

(2.8.2)

где по определению

df ds df as

A\h hV Df==Ds{D-f) (m = l,2, ...).

Очевидно, все функщш, включая и /, S, должны быть по крайней мере бесконечно дифференцируемыми, а приведенные выше ряды должны быть сходящимися при достаточно малых в.

Теперь рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений, определяемую гамильтонианом

Н = Н{1/,х,г),

который для простоты положим аналитическим относительно (2и-(-1) аргумента прп (y,x)D и О в < во. Уравнения движения имеют вид

ж = - Ну.

Предположим, что степенной ряд

Н{у,х,г)= %гт{у,х)

(2.8.3)

(2.8.4)

является таким, что система с гамильтонианом Яд (г/, ж) интегрируема в смысле Лиувилля, т. е. система дифференциальных уравненпй {к = i, 2, ..., п)

= "(п.1),

имеет явное решение

Лй = nlicci, ..., а„, pi -Ь cOjT, Рз, ..., р„), Ih = Ih («1, ..., а„, Pi -Ь cOiT, Рз, ... , р„).

(2.8.5).

(2.8.6)

где а, р - постоянные интегрирования, а величина coi = iCOi (ai) с помощью специального, но довольно обычного выбора вида инте-

генератора S определяется формулой