грала энергии зависит только от одной из координат вектора а, например от к]. Требование неособенностн якобиана

5(Р,а)

при достаточно малых т позволяет обратить выписанные выше соотношения и записать их в виде

asaii, %). {к= 1, га),

Pi + coiT = PI(ti,). (2.8.7)

Р;. = РЛП,Ю (й = 2,...,и).

Следуя определению Хори, мы будем называть уравнения (2.8.5) дополнительной системой. Нетрудно понять (и это следует запомнить), что, так как система с гамильтонианом Но предполагается интегрируемой в смысле Лиувилля, то существует каноническое преобразование (в частности, преобразование (2.8.6), если а, р - переменные действие - угол), которое приводит Hq к такому виду, что эта функция зависит только от новых импульсов, а в данном сучае только от aj.

Теперь рассмотрим задачу построения не зависящих от Н первых интегралов движения для системы (2.8.3). Для этого рассмотрим полностью каноническое преобразование (2.8.1) с генератором

е5(т1,,е)= 2еЧ(11-1)- (2.8.8)

Если К(г\, г) - новый гамильтониан, и преобразование не зависит от времени, то отсюда следует равенство

Н{у,х,г)К{ц,1,г), (2.8.9)

где в левой части этого соотношения координаты и импульсы {у, х) предполагаются функциями от ц, %, г вида (2.8.1). В соответствии с (2.8.2) такое преобразование получается непосредственным использованием генератора S, если только он является уже известной функцией, т. е.

к {ц, I, е) = 2 й- (2.8.10)

7П=0

Если стоящий справа степенной ряд относительно в является сходящимся, то мы должны считать, что существует аналогичный

ft=i

-т р (111 • • •, ijn 5i. • • • J SjiJ -

\ h k \

= /i:p(%, ...,L) (2.8.13)

или, используя дополнительную систему, в виде

F;(a,pi + T,p.„ =/i:;(a,pi-f т,р.„ ....pj.

(2.8.14)

Нрищип усреднения в данном методе может быть сформулирован как условие независимости функций Кр от т. Если, как обычно, предположить, что гамильтонпан Н[у,х,г) является 2л-периодической функцией относительно каждой из переменных у, и учесть, что система с гамильтонианом Яо интегрируема в смысле Лиувилля, то переменные у* и х* будут условно-периодическими (или периодическими) функциями т,- классический результат, следующий из общей теории переменных действие - угол. Мы обобщим введенное ранее понятие среднего условно-

сходящийся ряд п для к, т. е.

К{% ,Е) = 2 8™Z„(ti,§). (2.8.11)

Подставляя в правую часть уравнения (2.8.10) ряды (2.8.4), (2.8.8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, получаем

о(т1, I) =1МЦ, I),

(2.8.12)

р(т1, I) = (Яо, Sp)+Fp , (Р = 1, 2, ...),

где ЯВ.ЛЯЮТСЯ функциями от Яо, Hi, Яр-i, Si, ..., Sp i и могут быть определены или непосредственным образом, или ре-куррентно. Определение функций Fp и тот или иной способ их определения, так же как и их сравнительные достоинства и недостатки, детальное обсуждение которых проводится при изучении того или иного метода, с точки зрения рассматриваемого сейчас вопроса неважны. При р 1 дифференциальные уравнения в частных производных (2.8.12) представляют собой уравнения относительно Sp с типичными для методов усреднения характеристиками, причем функции Кр также неизвестны. Это уравнение можно переписать при фиксированном р в виде

) Далее «-» означает, что функция не зависят явно от соответствующего аргумента. {Прим. перев.).

периодической функции, определив ) г

= Хр(а,-,Р2, = А-р(т1,). (2.8.15)

где последнее преобразование в (2.8.15) осуществлено с помощью (2.8.7). Отсюда следует, что

= F; (а. + т. р„ ..., PJ - (а. -. р,.....р,л

Sp = j (П - Кр) dx = 5; (а, Pi + т, р„ .... р,) = 5р (Tj, I),

(2.8.16)

где опять для преобразования использовано соотношение (2.8.7). Из определения Кр также ясно, что предел

lim 5;(a.pi + T, р.„ ...,pj

конечен, и в силу упомянутого выше предположения функция Sp - условно-периодическая (или периодическая) по отношению к т и не имеет постоянного члена. По индукции (или какихМ-ни-будь иным способом) можно показать, что эта процедура пригодна для любого значения р = 1, 2, ... Это и доказывает существование формальных рядов

S = 5o(ti, \) -Ь е5, (ti, I) -Ь..., (2.8.17)

с помощью которых гамильтониан приводится к виду

К = Хо(11, I) + гК, (11, %) +..., (2.8.18)

где новый гамильтониан обладает тем свойством, что если ц, заменить на решение дополнительной системы, то К не будет явно зависеть от т и, следовательно,

= -0, (2.8.19)

где К определяется формальным рядом

Х = Х;(а,-,р„ ...,PJ-bEX;(a,-.p,.....р„) ...