Очевидно, можно написать

П, учитывая (2.8.19), пмеем dKo/dt = 0, так что Ко{г], I) = /о = const.

(2.8.20)

Итак, в итоге прпхменения преобразования Ли мы получили следующий результат: новый гамильтониан не зависит от дополнительного времени т и, следовательно, найден новый (формальный) интеграл движения, имеющий вид (2.8.20). Справедливость этого формального результата в неформальном смысле может быть проверена только анализом сходимости метода. Так как была показана эквивалентность метода Ли и метода Цейпеля (см. [63.1]) и так как при условии сходимости метода Колмогорова (при переменных частотах) сходится метод Цейпеля (см. [81]), то сходимость метода преобразований Ли при достаточно малых и несколько раз дифференцируемых возмущениях может быть отсюда получена косвенным образом. Как и раньше, такая сходимость не может быть равномерной по отношению к е и к начальным условиям. Преимущество излагаемого здесь метода заключается в том, что в него входят только квадратуры, а в методе Пуанкаре, в противоположность этому, мы имеем дело, вообще говоря, с уравнениями в частных производных. Не менее важным преимуществом является то, что мы получили преобразование в явном виде (см. (2.8.1)), можем записать любую функцию переменных у, х через переменные т), % непосредственным использованием генератора S (см. (2.8.2)), а сам метод и получающиеся в результате его применения величины инвариантны относительно канонических преобразований, что непосредственно следует из инвариантности скобок Пуассона относптельно таких преобразований.

Напомним, что каноническое преобразование

Q = Q{q,p,r), p = P{q,p,x),

(2.8.21)

получаемое с помощью генератора Ли S{Q,P,r), может быть определено как решение системы уравнений

dQ dS Y dP [ dS

dS dP

dQ 1

(2.8.22)

С начальными условиями (при т = 0)

Q{q,p,0) = q, P{q,p,0) = p,

(2.8.23)

где т - некоторый параметр. Предполагается, что правые части соотношений (2.8.21) принадлежат классу относительно всех 2« + 1 переменных в некоторой области фазового пространства и при т, ограниченном некоторым интервалом, скажем, т1 < то.

Для генератора VF (?, Р, т) из метода Пуанкаре это же каноническое преобразование определяется формулами

\т /

(dW\

при условии

V др

W {q,P, 0)0,

\ dq j

(2.8.24)

которое эквивалентно начальным условиям (2.8.23). Как уже было установлено,

S{Q, Р, т) = У \ (2.8.25)

где Q определяется первой из формул (2.8.24). Вводя разложения

W{q, Р, т)= 2 1„(<?,Р)т",

та=0

S{Q, Р,т)= 2 S+,{Q,P)x-

(2.8.26)

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т в (2.8.25), получаем связь между функциями и Sj, которая и была установлена выше.

В работе Мерсмана [73] алгоритм Депри получен формальным предположением т = е. Если считать, что теперь обозначение S соответствует генератору Ли из уравнения (1.5.7), то для сохранения используемых там обозначений в уравнении (2.8.25) Sn надо заменить на Sn+\ln\ и тогда можно получить

Si = Wu

-3 = 613-2 2

I YдQ дР. • dQ. дР. у Г dWi dWj 2 Wi £Wj

И т. д. Алгоритм Хори также получается из (2.8.25), если заменить S {Q, Р, т) на S (Q, Р) и затем положить т = 1, т. е. разложения из уравнения (2.8.25), соответствующие разложениям (2.8.26), имеют вид

W(q. Р)= i W„(<?- Р),

S(Q, P)S,{Q, Р).

Их подстановка в (2.8.25) (или сразу же в получающиеся иа (1.6.10) разложения) дает

УУ = + 2ия7Г-яр-

+ i2

dQ. ЭР.

dSi dSj dSi , ct-Sj dS, dS,

dS dS, dSt

dQ.dQ. dP. dP. dQ.dP. dP dQ. dPdQ. dQ. dP.

+ ...

(2.8.27)

Затем в функциях W n S вводится параметр e, так что

W = W{Q,P,z), S, = U{Q,P,E), и рассматриваются формальные ряды

оо оо

W = 2 Wn (<?, Р) 8", f/ = 2 f/n (<?, Р) е". (2.8.28)

Тем пли иным образом обращая соотношения (2.8.27), находим с тт/ 1 V dW dW ,

dW dW 8W

d-W dW dW

dW dW dW

i2[dQ.dQj dP. oP. dQ.oP. dP. dQ. dP.dPj dQ. dQ

(2.8.29)

Подставляя разложения (2.8.28) и приравнивая члены одинакового порядка по е, из (2.8.27) находим

2 dQ. dP.

(2.8.30)