u = y2pisinqi, u = y2picosqi, уравнение (2.8.32) можно записать в виде

= 1 ==- (2.8.34)

где

Н = pi-r eypi sin Aqi - гВ У2ру sin q cos Ш.

Введя далее координату q2 = (nt и сопряженный ей импульс р2, систему можно привести к виду (/ = 1, 2)

дК дК

(2.8.35)

97 = а, Pj-~

= Pi + (лро -г е {ypi sin 4gi - В V2pi sin q cos q) =

= Ко (Pi- Pi) + e/tTi (gi, q.2. pu -).

а из (2.8.29)

f/i = Wu

rr Txr 1 ydW.dW, (2.8.31)

г !

и Т. Д. Выписанные соотношения позволяют перевести описанный в начале параграфа метод теории возмущений Хори [54] в метод, введенный Депри.

В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга без демпфирования, т. е. уравнение

й + и + ги = гВ cos coi, (2.8.32)

где 60, "уО, В и ШтО - постоянные параметры. Рассмотрим случай, когда ш не является рациональным и, более того, когда для любых целых чисел р ф q соотношение

\pa-q\>K{p)& (2.8.33)

удовлетворяется для выбранной некоторым образом функции К{р), скажем, для К(р) = р-", где целое число о > 4. Если соотношение (2.8.33) не выполнено, то мы будем иметь дело с резонансным случаем, который рассматривается в последней главе книги.

Введя каноническое преобразование

Si = - 4" УрГ sin 2gl + Pi sin 4дГ -f

COS (gi + qz) + n и cos (gi - g2J.

2(1+ CD) -"Vii 1 I 2(1-CD)

Используя уравнение

-Ц-\-{Кг + КХ,8,)+К, = К1

и то, что в нашем случае Кч = О, второе приближение получаем в виде

К1 =

2 = -б4-УР1 +8Г2-),

Ч - 1

2 --2"

21 „ *• В2

32-i +4(1-0)) sin 6 д. -8со(1-со-) sin2g2 +

+ 32(1-0)) (1 + со)() sin(gi+g2) + 8 г. Е, о. Джакалья

-1Г2

* 3 * *

sin2gi - iggYPi sin4gi

Дополнительная система определяется гамильтонианом Ко, И ее решение имеет вид

ql = x+ Pi, дг = tt)T + р, р° = а,, р1 = а.-, где ai, «2, 1, 2 - постоянные. Пусть новый гамильтониан имеет

К* = к1 + гК1 + гк1+ а генератор Ли -

с условием, что функция К* не должна зависеть от т и, следовательно. Ко - интеграл движения. Обозначим новые координаты и импульсы через gi, qz, Pi, Рг-Из уравнения

--1+кЛч1 ql pi -)=к:

при условии, что (О не является целым, получаем

тг* 3 2

к* -Pi- (ор2 = гур1 + -д7- Eypi + О (е)

также является интегралом, т. е.- в главной своей частп задача сведена к квадратурам, и за исключением только рациональных или «близких» к рациональным значений ш может быть найдено общее решение. Связь между двумя наборами переменных q, р и q*, р* определяется формулами (2.8.1) или в используемых сейчас обозначениях формулами

,п-1 dS S о *

(2.8.36)

где /•= 1,2. Ясно, что так как функцпя S не зависит от р*2, ТО 52 = 92, т. е. преобразование не изменяет времени (д2= <й)-Так как мы определили

+ 128(5 + ») (=«1 + 9!) + 128(5-») - «=) "

Таким образом, в найденном приближении новый гамильтониан имеет вид

к* = Pi +(ар2 + -гур1 +-ог-ур1 +0{г),

где отброшена аддитивная постоянная. С другой стороны, Ко является интегралом движения, т. е.

+ apt = const,

так что функция