то, если положить

W = eS,

преобразование можно записать так:

* , V 1 n"-i dW

Qj = Qi + Z-; D,y

V 1 n"-i dW Pj = PJ - -

или с точностью до членов второго порядка по е

5j = 9 + + + -о- 1

Pi = Pi -

др. rip.

dW dW,

dqj cq] -

Wl bSu W2 = 62.

(2.8.37)

(2.8.38)

Очевидно, что если предположить сходимость метода, то все pi сведутся к константам, а - к липейиым функциям времени (при этом 92 = Частота угловой нерелгенной gi является

степенным рядол! относительно е. С точностью до членов второго порядка имеем

/, , 3 * 51

-де р\, Pi - константы.

9. Методы теории возмущений для негамильтоновых систем, основанные на преобразованиях Ли

Хори [55] и Кэмел [57] независимо друг от друга развили методы теории возмущений для общих негамильтоновых систем, обобщив соответствующий метод, пригодный только для гамильтоновых систем дифференциальных уравнений. Ясно, что такое обобщение не является таким уж необходимым, ибо, как уже говорилось, любую систему можно свести к гамильтоновой увеличением ее порядка вдвое и введением котангепциального пространства Дирака. Увеличение вдвое числа рассматриваемых уравнений окупается тем, что необходимо найти только две функции: новый гамильтониан и генератор преобразования. При 8*

Очевидно, функции {х) в области D будут вещественными аналитическими функциями. В конечном счете это требование аналитичности может быть ослаблено, если на каждом шаге вычисления приближений воспользоваться операцией сглаживания, однако для общего понимания метода это не имеет значения. Мы не будем рассматривать неавтономных систем, хотя И есть такие случаи, когда t не может рассматриваться в качестве дополнительной ж-переменной. Таковы, например, случаи, когда исследуется асимптотическое поведение, устойчивость или периодические решения.

Если уравнения (2.9.1) или (2.9.2) нельзя проинтегрировать в общем виде, то можно искать такое преобразование к новым п переменным \, скажем,

х = х{1,г), (2.9.3)

что дифференциальные уравнения относительно %

1 = (1, е), (2.9.4)

получающиеся из (2.9.3) и (2.9.1), поддаются более простому изучению. Ясно, что сформулированная так проблема слишком обща, чтобы определить, какими свойствами должны обладать эти преобразования переменных. Один из способов убедиться в

непосредственном подходе приходится иметь дело со столькими неизвестными функциями, сколько есть переменных; действительно, при использовании результатов § 7 главы I это становится ясно сразу же. Здесь мы опишем такой способ наиболее близким к работе Кэмела [57] образом.

Рассмотрим систему п дифференциальных уравнений первого порядка

x = f{x,z) (2.9.1)

И предположим, что f {х е) - вещественная аналитическая по каждой из и -f 1 переменных х\, ..., Жп, е вектор-функция в некоторой области Q{xDdR, е<е(,}. Правая часть уравнения (2.9.1) может быть разложена при достаточно малых е в сходящийся степенной ряд

= 2гРИ, (2.9.2)

fe>o

и, подставляя сюда (2.9.2) и (2.9.9), находим

2 i f« w = 2 Ф» (В + 2 If 2IJ- ф" <»• (2.9.10)

ЭТОМ, разумеется, состоит в предположении о том, что при е = О общее решение уравнения (2.9.1) известно, т. е. уравнение

y = f{U,0) = fW(y) (2.9.5)

интегрируемо. Затем можно заинтересоваться вопросом о существовании преобразования (2.9.3), которое переводит уравнение (2.9.1) в уравнение (2.9.5), точнее, в уравнение

1 = /(«М1)- (2.9.6)

Так как при е = О преобразование (2.9.3), очевидно, будет тождественным, то мы приходим к задаче нахождения преобразования, близкого к тождественному, т. е.

x=l+eh{le), (2.9.7)

а функция fe(, е) предполагается аналитической в некоторой области по каждой из га + 1 переменных, е, причем эта область содержит точку е = 0. Очевидно, что при достаточно малых е вблизи 6 = 0 преобразование будет обратимым. Можно записать

=1+ 2rt(?), (2.9.8)

и преобразованная система дифференциальных уравнений в общем случае будет иметь вид

1 = Ф(1, е) = 2 if *<"(§), (2-9.9)

Теперь нашей задачей является получение по данному преобразованию (2.9.8) функций-(I) в (2.9.9) из функций в (2.9.2). Очевидно, это можно сделать разными способами, однако, если необходимы члены большого порядка и их систематическое исследование, то можно рекомендовать рекуррентный алгоритм, аналогичный алгоритму § 7 главы I. Дифференцирование соотношения (2.9.8) по времени t дает