Еп (I) = -Тп (I) - 2 C-lLE-m т- (2.9.12)

7П=1

Преобразование, обратное к (2.9.8), запишем в виде

1 = х + Х(Цх), (2.9.13)

так что

(а;) = Т„ (а;) - 2 {X), (2.9.14)

7П=1

где использованы введенные в (1.7.20) и (1.7.21) обозначения, т. е.

Хр,, (а;) = - 2 C-/mXp-m,« (Я), ,

"«=1 (2.9.15) Хо.,(а;) = Х((а;).

Наконец, находим

ф(п) (I) = /(п) (I) + 2 С« [/;.«-; (I) - ф("- (l)J, (2.9.16)

что и является искомым рекуррентным соотношением. Очевидно, уравнение (2.9.16) содержит коэффициенты i nt определяю-

Из соотношения (1.7.2) теперь мы видим, что

/ (а; (1,6), 6) = 2 5-()

и в нашем распоряжении есть рекуррентные соотношения для определения функций /п(1), например, уравнения (1.7.4) или (1.7.15), или заключительные соотношения из § 7 главы I. Из (2.9.10) теперь следует, что

fn (I) = Ф<" (I) + 2 с qX"-) (I). (2.9.11)

7П=1

Если теперь рассмотреть (1.7.22), то получим

п -1

Еп (I) = - (I) - 2 (I)

или в обозначениях (1.7.9)

Ф"" (I) - fn,0 il) + 2 С» Ф""™ il) - fm:n-m il)

[(2.9.18)

e:{1) = eai) при r„ = o,

/«,0 (I) =/.,0 (I) при Г„ = 0,

/р,з(1) = - S Cp-lm/p-m,g (I)

/о,,() = ф().

Полное описание этого метода было дапо в работах Кэмела [57] и Хенрарда [51] и в работе Хори [55]. Кэмел показал, что подход, основанный на преобразованиях Ли, содержит в себе как частные случаи важные методы разложения по двум переменным и подбора асимптотических решений, развитые в работе Кеворкяна [58]. Этот вопрос здесь не рассматривается, так как он весьма подробно изложен в работе Коула (см. [18.5]). Может быть, стоило бы отметить, что алгоритм Депри для преобразований Ли, которые генерируются функцией малого параметра, примененный к функциям Гамильтона, зависящим от этого же

щие отображение (2.9.8), т. е. коэффициенты Z"""(a;) разложения

-- = 2х«+.),

получаемого из (2.9.13), и коэффициенты разложения

п>0

так же, как и в (1.7.6), (1.7.7) и (1.7.8). На каждом шаге приближения функции Т„ (I) в зависимости от выдвинутых требований должны быть выбраны соответствуюн];им образом. Эти неизвестные функции Т„ () можно выделить в уравнении (2.9.16) следующим образом:

фС) (I) - Г„ (I) = (р(«) - f«) - G„ (I), (2.9.17)

где функции Gji () зависят от всех предыдущих приближений. Кэмел получил для них такие формулы:

Gn (I) =

D.=Trix)~, (2.9.23)

- дх.

й=1 *

так что, обращая отображение (2.9.21), имеем

/(1) = /(а) +2 -PDlfix), (2.9.24)

что является непосредственным обобщением преобразования Ли. Все выписанные соотношения в действительности в том или

параметра, также может быть здесь получен, если с самого начала забыть про наличие этого параметра, что и было показано выше и следует из работы Мерсмана [73]. Аналогичным образом описанный выше метод может быть упрощен введением операторов и функций, не являющихся функциями параметра, с последующим разложением в степенные ряды по е всех полученных результатов. Такой подход был осуществлен Хори [55], и здесь мы ограничимся кратким изложением его результатов.

Рассмотрим набор из п переменных i, ..., „ и операторы и пусть

01 = 2 Т,{1). (2.9.19)

Рассмотрим отображение

3 = lj + -hDlTjil), (2.9.20)

Z) = l, Di = D, Dl = D,Dr\

Это отображение аналогично отображению (2.8.1) и соответствующим определениядг В частности, функция Тк{%) играет роль функции dSld\. Рассмотрим также отображение вещественной аналитической функции/(ж), зависящей от п переменных xi, ... ..., Хп, в -пространство по формулам

/Н = /(1)+20/(Ю- (2-9.21)

В действительности формулы (2.9.20) являются следствием формул (2.9.21). Определим обратное отображение

Т {X) = Г, (I) (2.9.22)