ИНОМ виде содержатся в предыдущем изложении (где есть зависимость от е), а их доказательство получается сразу же. Уравнение

= fk {X)

(2.9.25)

после применения преобразования (2.9.20), генерируемого функцией Т, переходит в уравнение

1. = фЛ1).

(2.9.26)

Используя (2.9.24), получаем преобразование, обратное к (2.9.2Q), в виде

Так как из (2.9.25) следует, что

то ДЛЯ произвольной функцип имеем

(2.9.27)

(2.9.28)

, - дх, \й=1 kj

Вычисление функции ф() в (2.9.26) проведем следующим образом. Дифференцирование соотногиения (2.9.27) дает

и, подставляя сюда (2.9.25) и (2.9.23), заходим

I- = + (х){пгтГ (-))

или, используя (2.9.21) и (2.9.20),

P>1 h=i

+ 2~fivi {% i ( = (2.9.29)

рэ=1

ло)"} I y(2)%- . 1 У /r(i) 3 („(1) ,

a в общем случае

(гп(1> L /() I /(2) „(2)

h=l

...+/Г = ФГ, (2.9.32)

Теперь рассмотрим ряды

ф = ф+ ф51)+ (2.9.30)

r=rf+ г-Ч ...

и будем искать такие операторы Tj, чтобы функции фJ имели желаемый вид. Очевидно, предполагаем, что уравнения

Ук = Ри\у) (2.9.31)

имеют известное общее ретпение. Разложение (2.9.30) функций /, не обязательно подразумевает разложение в степенные ряды но некоторому малому параметру и не обязательно имеет бесконечное число членов. Действительно, в обычном случае для возмущений интегрируемой системы (2.9.31) имеем /у = О при к>2,г. е.

fi = tr + fT-

Подставляя ряды (2.9.30) в (2.9.29) и приравнивая члены одинакового порядка, можно получить рекуррентный алгоритм вычисления неизвестных функций ф*/ и 2" В этом отношении явное использование параметра е для представления членов разного порядка является весьма удобным, хотя и не обязательным. Это означает, что приравнивание членов одинакового порядка лучше заменить приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях е, если положить ff = О (е), ф/* = О {г), Tf> =

Первые несколько приближений имеют вид

с общим решением

так что

h=lM, (2.9.34)

" f атр) iJtW лД»)

Общее уравнение (2.9.32) на каждом шаге вычисления приближения приводится к линейной системе дифференциальных уравнений относительно Т\ ()

- +i т " (-) + {-) = фГ , (2.9.35)

где все % заменены решениями (2.9.34) дополнительной системы. Ясно, что уравнение (2.9.35) является непосредственным обобщением уравнения (2.8.9). Заметим, что как и в обычных методах усреднения, функции ф- надо выбирать так, чтобы в (г) отсутствовали секулярные члены, т. е. надо, чтобы предел

lim Т" (т)

был конечным. В простейшем случае функция ff линейно зависит от переменных , так что система уравнений (2.9.35) является линейной неоднородной системой с постоянными коэффициентами для приближения любого порядка. Если имеет место не такой случаи, а, например, функции dffdl \l=lix) являются периодическими или условно-периодическими функциями т, то интегрирование уравнений (2.9.36) представляет собой нетривиальную задачу. Следовательно, желательно произвести такое разложение функций Л(), чтобы все /j" (I) были линейными.

Уравнение Ван дер Поля. В качестве примера рассмотрим уравнение

X -\- е {i - х) X X ~ О,

что, ПО существу, эквивалентно выписанным выше соотношениям (2.9.17). Здесь все функции зависят от переменных . Теперь мы введем важное понятие дополнительной системы, определив

% = Г(1) (2.9.33)