которое можно записать так

х- = х, х -- x-i -е{\ -х\)х. (2.9.36)

Здесь мы имеем

Д«> = ж„ /f==-„ Ai> = /f >=...=/,->=... = О, fi = - е (1 - х\) X,, fP = /> = ... = /f ... = 0.

Дополнительная система

§ =-f=

имеет решение вида

1==асоз(т + ), 2 =-asin(T + ), (2.9.37j

где сс, р - скалярные постоянные. Уравнения первого приближения принимают вид

- + 8 [1 - acos (т + P)] a sin (т + P) =

d,T\

l-jasin (T + P)-sin(3T+3P)

Для того чтобы не появилось секулярных членов, в уравнении для i должен отсутствовать член sin(T-l-P). Один из возможных способов выбора произвольных функций описывается формулами

dT[ ~d

+ r(i)= e5!sin (Зт + ЗР),

+ ф2* = в

а sin (т + Р),

=.e(l-)(xsin(T + p),

так что

и, следовательно,

32 е "2

=Si - 1+ё1-752

5 j.2\

Таким образом, уравнения в новых переменных в первом приближении имеют вид

- - fei - е 1 - X Vfei + ё2;

Легко проверить, что уравнение для 2 получается из уравнения для 1 при замене 2->--что объясняется сделанным выбором Фг = с/ф/Ут. Если положить

то найдем, что

и, следовательно,

= - 28

- Si + S2 = -:

fe-*±l

а знак + или - надо выбирать в зависимости от знака постоянной к, т. е. в зависимости от начальных условий так, чтобы величина была положительной.

При 8 > О мы получаем асимптотическое поведение:

«-2-»-О при foo,

что описывает хорошо известное демпфированное движение по направлению к фокусу. Если 8 < О, то и-А при too и мы имеем предельный цикл в уравнении Ван дер Поля. То, что первое приближение (по 8) дает возможность получить полную ин-

формацию об асимптотическом поведении системы, объясняется тем, что в любом приближении уравнения для gi, %2 имеют тот же вид, что и уравнения первого приближения, т. е.

il = [1 8-2/, {и) + 84 {и) +

2 = 1 (2 " хг)

так что описанные выше асимптотические свойства сохраняются.

10. Замечания

Интегрируемость динамической системы является весьма спорным понятием. Некоторые считают, что по отношению к га-мильтоновым системам разделимость уравнения Гамильтона - Якоби может служить достаточно хорошим определением интегрируемости, хотя это и не является общим мнением. К сожалению, теорема Штеккеля не дает никаких указаний на то, как в действительности надо строить систему координат, чтобы разделить уравнение. Хорошо известно только, что если есть п независимых интегралов у системы с п степенями свободы, то, в соответствии с результатами Арнольда, инвариантное многообразие состоит из торов, на которых в общем случае движение будет условно-периодическим. Существование таких многообразий для некоторого класса систем изучал также Дилиберто, который называл их периодическими поверхностями. Для нега-мильтоновых систем этот вопрос еще более сложен, хотя, как показывает пример в конце главы V, здесь можно думать об обобщении процедуры нормализации Биркгофа в случае возмущенного движения гармонических осцилляторов. В действительности многие задачи соответствующим выбором переменных в времени могут быть сведены к задаче о гармонических осцилляторах. Например, ньютоновская задача двух тел использованием преобразования Леви-Чивита [69]

х== ~v, у = 2uv

совместно с преобразованием времени

dx = dt/r

сводится к простому гармоническому осциллятору. Другие силовые поля недавно были рассмотрены в работе Джакальи и др.