(In 0\

Отсюда следует, что отображение Zq-z можно представить в виде

г/= г/о + У(Жо,Уо.. 0> х х + Х {х, yt), (1.1.18)

где Y (Жо J/o 0) = .ЯС (Жо, J/oO) = О- так что для достаточно малых t имеем

У (Жо> Уо. о = tY (Жо, г/о, О, X (Жо, Уо, = i X (Жо. г/о>

Эту ситуацию можно также рассмотреть с другой точки зрения. Так как при i = 0 отображение Zq-z является тождественным, то существует такая производящая функция

S = xlij + tW{x„ij,t), (1.1.19) что выполняются равенства

x = Sl = Xo + tWl,, iJo = Sl = ij + tWl, (1.1.20) а это эквивалентно соотношениям (1.1.18).

2. Кавонические преобразования

Неособенное преобразование принадлежащее классу

С, называется каноническим, если оно переводит каждую га-

милътонову систему z = MHl в гамилътонову систему S = МК\.

Это свойство является чисто локальным, однако опять можно быть уверенным в полезности возможного глобального распространения такого определения и его следствий на некоторую область фазового пространства. Пусть z = col {у, ж), % = col (il,!) - векторы размерности 2п. Инвариантность гамильтоновой формы уравнений подразумевает, что преобразование будет каноническим тогда и только тогда, когда форма

Ф(Я)= i (%6,-,б%) (1.2.1)

ft=i

будет полным дифференциалом для всех Н.

Из (1.2.1) мы выведем необходимо* и достаточное условие каноничности преобразования (см. [6]). Заметим, что (1.2.1) 2*

И при t = О

можно переписать в !влде

Ф(Я)=ГЖб?. (1.2.2):

Более того, для данного преобразования

g - g (Z, t) (1.2.3)

мы имеем

t = Jz + u (1.2.4)

где / - матрица Якоби / = д/дг. Отсюда следует, что

I = JMHI + g„

а из (1.2.2) получаем

Ф(Я) = (-Я,М/1)Мб,

или, учитывая равенство 6 = Jbz, имеем

Ф{Н) = - Н,М S (Z) bz + gjM/ б2,

Ф (й") = - П\М S (г) bz + 5* (f, z) 6z, (1.2.5)

sw=(i)(g). •«..)=(i)M(i).

Величина 5* ( z), очевидно, является вектор-строкой, элементы которой равны скобкам Лагранжа [f, z?,].

Условие интегрируемости формы Ф(Я) для всех Я можно свести к условиям интегрируемости таких величин

Ф(0) = 2*(z)бz = 2[2,] б2„

<l>(l/ft) = -2[ft,2,] бгг + Ф(0), Ф(%) = 2[1/б,2г]бгг-ЬФ(0), Ф (Уйу) = 2(1/. Ч\ Ук - [Ч, S2/ -h Ф (0).

Отсюда следует, что

В итоге получаем

[У>, 2г] =0 для Zi ф ajj,

[ajft, z;] = О для Zi ф Уиг

а также

[Ук, Хи] =< - [х,, у,] =const = К. (1.2.6)

Последнее соотношение получено с использованием первых трех выражений, откуда, применив тождество Якоби, находим

А[,,,.] = 0, [z„z,] = 0.

В матричных обозначениях условия (1.2.6) можно переписать в виде

5 (z) = ГМ1 = ХМ. (1.2.7)

Так как по предположению / #10, то константа X не может быть равной нулю. Соотношение (1.2.7) выражает необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. С другой стороны, так как Р (z) = - 5 (2), то это условие может быть записано также с помогцью матрицы Пуассона в виде

Р (z) = /МЛ = ХМ. (1.2.8)

Достаточность условия сразу же следует при подстановке (1.2.7) в (1.2.5), что дает

Ф{Н) = XHbz + *{t, z)bz = b{XH + (1.2.9)

где W {z, t)-~ функция, удовлетворяюгцая равенству

Wbz = 5* (<, z) 6z = Ф (0) (1.2.10)

и являющаяся полным дифференциалом. При этих предположениях легко сделать следующее заключение.