42, 43], где использованы методы, введенные Кустаанхеймо 62]>).

Ниже мы также придем к изучению интегрируемости системы в окрестности устойчивого положения равновесия - область, в развитие которой много усилий вложили Зигель и Мозер, так же как и многие другие авторы. Хотя сходимость методов нормализации установлена быть не может, из результатов Контопулоса [17-23], Барбаниса [5] и Бозиса [9, 10] ясно, что при достаточно общих обстоятельствах могут существовать другие интегралы (или квазиинтегралы) как в общих, так и в резонансных системах. Очевидность существования интегралов была так-гке установлена методом поверхностей сечения в работе Хенона и Хейлеса [52, 53].

Что касается методов последовательных приближений, то найти решение системы в виде ряда можно любым методом; при этом может быть достигнута сходимость этих методов на достаточно малом интервале времени. На интересующий вопрос можно ответить, используя простой метод итераций Пикара, что, по существу, и было сделано во многих работах, особенно в работах, использующих численные расчеты на ЭВМ.

Для заданной системы, зависящей от малого параметра, способ поиска решения в виде рядов по степеням этого параметра определяется тем, насколько решение близко к особой точке (равновесию) системы, и тем, является ли эта особая точка устойчивой. Свойства систем такого рода сначала изучались Бирк-гофом в связи с поведением отображений, сохраняющих nlio-щадь, в окрестности неподвижной точки. Сравнительно недавно важные результаты в этой области получили Мозер, а также Гельфанд и Лидский [35]. Типичный пример изменения характера разложения по параметру в окрестности равновесной точки дает ограниченная задача трех тел, в которой есть пять частных решений Лагранжа и Эйлера. Как было недавно показано в работе Себехея и др. [100], такие разложения могут проводиться по степеням е"", г или е.

Метод последовательных приближений Макмиллана [71, 72], описанный во втором параграфе, легко можно свести к методу усреднения для уравнения (2.2.6) или для этого же уравнения, но записанного в виде ряда (2.2.7). Такой метод был предложен Чезари и несколько позже Хейлом. Появление секулярных членов в решении, как было показано в примере, приведенном в начале § 3, привел Линдстедта к изучению методов усреднения. В некоторых задачах неудачный выбор опорного решения влияет на успех использования метода последовательных приближе-

) О регуляризующих преобразованиях Леви-Чивита и Кустаанхеймо - Штифеля см. [13*] (прим. перев.).

2j Pjfj

2 Pj

где iiT - некоторая положительная постоянная, а а>п-1. Если эти условия не выполнены (они могут нарушаться только на множестве частот со нулевой меры), то интеграл от условно-периодической функции с нулевым средним может не быть ограниченным из-за наличия малых делителей; этот вопрос обсуждался Мозером в теории условно-периодических движений.

Если исходить из чисто геометрической точки зрения, то Мозер [78] сделал очень важный шаг при изучении сохраняющих площадь отображений, близких к тождественным (см. (2.4.12)). На его работу очевидное влияние оказали труды Биркгофа и Зигеля.

НИИ, аналогично тому, как плохой выбор системы координат влияет на интегрируемость (разделимость движения) системы. Гамилыонизация системы, предложенная впервые Дираком, применима практически только в тех случаях, когда систе.ма (2.4.5) имеет постоянные коэффициенты (еслп не рассматривать исключительных случаев), т. е. когда функции gi линейны относительно компонент X, вектора х и имеют постоянные коэффициенты. Во всех остальных случаях определение опорного ретпения из (2.4.5) может представлять собой очень трудную задачу. Что касается метода Пуанкаре (который, кстати, называл его методом Линдстедта), то он был назван методом Цейпеля главным образом из-за работы Цейпеля об астероидах [105], для которых Брауэр [11] получил эффектпвпое решение при решении задачи об искусственных спутниках Земли. Начиная примерно с этого времени и появились в полной мере в небесной механике методы усреднения. Интересно отметить, что до этого времени метод Пуанкаре использовался исключительно в теории нелинейных колебаний, в том числе и в работах советских авторов. Уравнение (2.4.8) также указывает на то, что за исключением операции усреднения все эти методы в консервативных системах сводятся к решению уравнения Гамильтона - Якоби с помощью последовательных приближений. Главный недостаток этих методов, заключающийся в неявной связи между старыми и новыми переменными, которая осуществляется производящей функцией W (см. уравнение (2.4.10)), и в задаче обращения этой связи, только недавно был преодолен введением рядов Ли. Утверждение о Т0Д1, что если среднее условно-периодической функции равно нулю, то эта функция ограничена, может быть проверено, если потребовать выполнения некоторого условия иррациональности между базисными частотами coi, ..., со„ соответствующих рядов Фурье; точнее, нужна выполнимость условия

/о {x) = limUit,x, г) dt.

Т-*(х> J

) См. также

14*-18*] (прим. перев.).

2) См. также [83], [19*], [20*] (прим. ред.). 9 г. Е. О. Джакалья

Выкладки, включающие в себя действительные вычисления, следующие из (2.4.16), на практике оказываются очень утомительными и невероятно длинными. Тем не менее, недавнее введение в практику научных исследований автоматических буквенных алгоритмов для быстродействующих электронных вычислительных машин уничтожает большинство практических трудностей. Важные результаты здесь получили Ковалевский [60], Депри и Ром [28-31] в приложении к типичным задачам небесной механики О- Аналогичные работы из области нелинейной механики и теории цепей нам неизвестны.

Понятие вырожденных систем, введенное Арнольдом, к сожалению, является очень общим; тем более важно исследовать их поведение при введении возмущений. Существенной геометрической трудностью при этом является то, что размерность инвариантного многообразия невозмущенной задачи ниже размерности многообразия для возмущенной задачи 2). Кроме того, линейные возмущенные системы крайне чувствительны к появлению различных резонансных ситуаций и весьма трудны для описания. Внимание, которое уделяется разделению переменных на быстрые и медленные, объясняется тем, что обычно быстрые переменные соответствуют малым амплитудам колебаний и не влияют на медленные переменные; эволюция последних связана с большими масштабами изменений по отношению к переменным невозмущенной системы и за большие промежутки времени.

Во многих случаях усреднение понимается просто как процедура исключения времени, входящего явно в уравнения движения. Тогда этот процесс осуществляется простым взятием среднего от правых частей дифференциальных уравнений. В действительности в методе Крылова - Боголюбова - Митропольского это является только первым шагом. Такая процедура в различных ее вариантах использовалась Хейлом [50], изучавшим при времени, стремящемся к бесконечности, разницу между решением неавтономной системы

x = Ef(t, X, е) (2.10.1)

и решением усредненной системы

i = efo(x), (2.10.2)