Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

1) См. также [13*] {прим. перев.).

Хейл получил условия, определяющие существование периодических рещений, и условия их устойчивости. Исходное предположение при этом заключается в гипотезе существования преобразования

х = у + ги{1, у, е) (2.10.3)

при достаточно общих условиях, которое приводит уравнение (2.10.1) к виду

У = Ф{У)+£F{t, у, г), (2.10.4)

где F{t, у, 0) = 0. Ясно, что близкое к тождественному преобразование (2.10.3) приводит к системе (2.10.4), отличающейся от (2.10.2) членами порядка не ниже О(е). Ошибка, оцененная Кинером, в действительности является только уточнением этой основной ошибки.

Мозер [84] ) изучил с современной точки зрения топологию кеплеровского движения, особые точки фазового пространства и ввел понятие усреднения на многообразии, избежав явного использования операций с координатал1И. Его существенные результаты основаны на применении специальных методов к векторному полю, задаваемому кенлеровским движением. Процедура регуляризации, использованная Мозером при изучении орбит, близких к началу координат (г = 0), была введена Леви-Чивита и хорошо известна под названием преобразование обращения. Обычно прп изучении глобального поведения траекторий оно не используется, так как добавляет новые особенности в тех точках, где скорость частицы равна нулю.

Предположив, что правые части дифференциальных уравнений являются периодическими функциями времени, Ларичева [66] получила значительно более лучшую оценку ошибки усредненных J равнений небесномеханического движения, чем ошибка, оцененная Боголюбовым и Митропольским [8]. В своей работе «Теория орбит вблизи сжатой планеты» Кинер [64] дал отличное описание методов усреднения, а также, для частного примера, описание теории периодических поверхностей Дилиберто и ее связи с методами усреднения. В это.м частном случае, как и ожидалось, существуют двумерные торы, так как предполагается, что поле планеты имеет цилиндрическую симметрию. Кинер также применил метод, развитый ХейлохМ в книге «Нелинейные колебания» [49], для получения условий периодичности орбит и, кроме того, построил их приближения.

Что касается применения метода Пуанкаре к гамильтоновым системам, когда гамильтониан представляется степенным рядо.м



ПО координатам и импульсам (как в примере из начала шестого параграфа), то он был описан в работе Джакальи [37]. Эта проблема сначала естественным образом возникла в теории малых колебаний, а затем в небесной механике при использовании переменных Пуанкаре и в задаче о резонансе. На этом пути получено некоторое обобщение понятия нормализации Биркгофа, связанное, во-первых, с предположением о том, что имеются произвольные комбинации координат и импульсов, и, во-вторых, с тем, что дается более систематическое изложение самой процедуры нормализации. Однако применение Депри [31] рядов Ли в аналогичной проблеме показывает, что возможно более сложное и эффективное использование этого метода. Как было показано в работе Джакальи [41] при исследовании колебательных случаев в эллиптической ограниченной задаче трех тел, в этол! случае характеристические показатели лучше всего получать, используя метод Чезари, развитый в его работе [14]. Очевидно, после того, как получены выражения для характеристических показателей в виде рядов по малому параметру до некоторого порядка, нетрудно будет использовать преобразование Ляпунова, сводящее задачу к интегрированию линейной спсте-мы, коэффициенты которой являются постоянными при учете членов того же порядка по малому параметру. В этом случае проблема лгалых делителей пз метода Пуанкаре переходит в задачу о параметрическом резонансе.

Построение интегралов двинсенпя с помощью дгетода последовательных приближений к условию Пуассона, предпринятое во многих работах Контопулоса, очень хорошо показывает изменение вида этих интегралов (или квазиинтегралов) при пересечении резонансных зон. Так как в предельном случае резонансные точки также плотны в фазовом пространстве, как множество рациональных чисел на отрезке, то можно ожидать очень запутанного п сложного поведения этих интегралов, изменяющих своп вид бесконечно много раз на каждом конечном интервале частот, определяемом малым параметром и (или) начальными условиями. В действительности этот факт не будет мешать сходимости для фиксированных наборов частот, образуюьцих множество ненулевой меры. Однако такие интегралы не могут быть аналитическими, а никакие их представления в виде рядов не могут быть равномерно сходящимися или непрерывными. Все проведенные здесь рассмотрения и высказанные предположения весьма тесно соприкасаются с теориями Мозера и Колмогорова.

Построение интеграла Ковалевской, проведенное нами в § 6, представляет собой редчайший случай рядов, имеющих конечное число членов, и, разумеется, может быть осуществлено только в исключительных ситуациях. Тем не менее, этот пример указывает на опасности, появляющиеся при попытке дать определение 9*



интегрируемых и неинтегрируемых систем для всех возможных рлучаев.

Методы преобразований Ли в настоящее время весьма популярны и они действительно представляют собой настоящий прорыв в стене классических методов. По крайней мере, можно сказать, что они были неизвестны Пуанкаре,- факт, в общем-то, удивительный для методов теории возмущений. Честь введения этих новых методов принадлежит Хори. Более поздние работы и модифицированные алгоритмы надлежит рассматривать только как обработку и другие варианты одной и той же основной идеи. Одним из лучших примеров использования этих методов является работа Депри и Рома [31] об основных задачах, связанных с искусственными спутниками Земли. Кроме того, таким примером могут служить недавние исследования Джакальи и др. [39, 40] о движении твердого тела под влиянием центрального гравитационного ноля. Различные примеры также приводят Чой и Тэпли [16].

Пример, который мы дали при решении уравнения Ван дер Поля, с точностью до членов третьего порядка рассмотрен в недавней работе Хори [55], посвященной негамильтоновым системам. Этот пример является лучшид! образцом использования метода преобразований Ли в негамильтоновых системах. Гамиль-тонизацию уравнения Ван дер Поля

X = -е {\-х)х-х можно провести, еслп положить х = yi, х = г/з, так что

Vi = У2, 2/г = - е (1 - i/D 2/2 - Уи и гамильтониан имеет вид

Н = xiyi + Х2У2 = Hq + Hi,

Hq = Х1У2-Х2У1, Я1 = - е (1 - yf) ху. Уравнения движения записываются так:

Ук = Н, х-=-Ну,

а дополнительная система, определяемая гамильтонианом К = = 1112-12111, имеет вид

di 6 5.

1 - Ti Ilk - n



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 [41] 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0143
Яндекс.Метрика