Такие методы, как было видно в предыдущих главах, приводят к уравнениям вида

2 ioJ = F{x.y)F{x.y + 2n),

решение которых содержит малые (если вообще не нулевые) знаменатели, а получающиеся при этом ряды в общем случае расходятся, даже если частоты являются рационально независимыми. В последнем случае предполагается, что п вещественных компонент вектора (i)=(coi, ..., сй„) удовлетворяют бесконечному числу неравенств

2 kii

г = 1

смысле, ЧТО траектории, покрывающие такие торы 7", всюду-плотны. Другими словами, для данной точки РТ" (где = - {У1, ...,Уп)) и для произвольного 8>0 всегда можно найти такое Т(е), что для данного t из интервала 0<CtT{t) соотношения i/fe {t) - г/д I < 8 удовлетворяются для всех к.

2. Возмущения интегрируемых систем

Рассмотрим систему, определяемую гамильтонианом

HH,{x) + iiH,{y.x,), (3.2.1)

где 0<;р,<1, а i- периодическая (периода 2л) функция относительно г/1, . . ., Мы попытаемся проверить тот факт, что прп этих условиях движение возмущенной системы, соответствующей гампльтонпану (3.2.1), происходит на торе, который близок к тору, определяемому условиями x,j = = const (А=1, п).

Вначале мы остановимся на кратком описаппи классических методов теории возмущений. Они заключаются в приведении гамильтониана Я, определяемого формулой (3.2.1), с помощью последовательных канонических замен к таким формам:

H = H[}\x) + vm\\y..x. 1),

Я = Я[,2) {x") + vmf\y",x", fx).

где /)=п+1, все целые числа ki одновременно в нуль не обращаются, а число K{(i)i, «„)>-0 выбирается соответствующим образом (см. [24]). Следовательно, для множества значений «1, ..., Юп, имеющего ненулевую меру, в классической теории возмухцений все знаменатели ограничены снизу по абсолютной величине. Тем не менее, даже этого недостаточно, чтобы гарантировать сходимость рассматриваемых рядов. С другой стороны, так как мы считаем, что частоты являются непрерывными функциями х, то непрерывное изменение этих последних величин неминуемо приведет к резонансным значениям «/„ и выше упомянутые ряды в любом случае не могут быть непрерывными функциями х\,, т. е. начальных условий задачи. Прп некоторых ограничениях на Н\ можно установить сохранение условно-периодических движений, и первая теорема, относящаяся к этому вопросу, была предложена Колмогоровым [25]. При доказательстве теоремы Колмогорова Арнольд писал [6]: «Простая и новая идея, комбинация весьма классических и вполне современных методов, решение 200-летних проблем, ясная геометрическая картина и широкие горизонты - таковы достоинства этой работы». Это действительно так, ибо ранние результаты Пуанкаре рассматривались в слишком общей форме, и думалось,, что они оставляют только небольшой шанс на то, что динамическая система будет интегрируемой.

Можно то.лько предполагать, что неинтегрируемые системы образуют плотное множество, скажем, в пространстве всех функций Гамильтона. Однако никаких предположений о плотности интегрируемых систем в нашем распоряжении нет. Если они, по крайней мере, также плотны, как множество рациональных чисел на отрезке, то мы можем по-прежнему сказать, что существует крайне мало интегрируемых систем. В действительности рассматриваемая проблема похожа на задачу п тел, на ограниченную задачу трех тел, на задачу о несимметричном волчке и т. д., в которых только доказана неинтегрируемость в том смысле, что в каких-то частных координатах и в каких-то частных случаях не существует общих интегралов или даже, в более специальных случаях, не существует алгебраических или аналитических интегралов (см., например, [43, 40,36,38]).

Простейший вывод, которьш можно сделать из теоремы Колмогорова, заключается в том что при выполнении условия невырожденности \дНдх\фО при малом аналитическом возмущении большинство инвариантных многообразий (торов), определяемых функцией Яо, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Термин «большинство» подразумевает нигде не плотное множество, дополнение которого имеет меру, малую вместе с е.

Действительно, в любой окрестности инвариантного тора невозмущенной системы есть инвариантный тор, на котором все траектории замкнуты, т. е. частоты рационально зависимы. Однако прп малых возмущениях эти инвариантные торы разрушаются. В любом случае для систем с больше чем одной степенью свободы ничего существенного о поведении траекторий в течение длительного времени (асимптотически) не известно. Для консервативной системы с двумя степенями свободы многообра-зпе, определяемое интегралом энергии, является трехмерным и содержит двумерные инвариантные торы. Это - максимальная размерность, при которой промежуток между двумя такими торами конечен и замкнут, т. е. траектории, начинающиеся в этой области, будут оставаться в ней все время. Для больших размерностей это в общем случае неверно.

Как уже упоминалось выше, для формальных рядов, получающихся при приведении гамильтониана к виду, зависящему только от переменных действие, вопрос о сходимости встает главным образом из-за появления малых знаменателей. Как отмечают Браузр и Клеменс [14], сходимость этих рядов зависит от того, насколько быстро уменьшаются числители с увеличением порядка приближения (по мере того, как все большие числа входят в комбинации (3.2.2)). Это подразумевает, что метод последовательных приближений должен быть устроен так, чтобы увеличивалась скорость уменьшения этих числителей. Вероятно, это один из наиболее важных аспекто.в, описанных Колмогоровым в предложениях ПО доказательству его теоремы. Такой метод был создан в виде метода типа ньютоновского метода приближений. об!ладающего квадратичной сходимостью, в том смысле, что ошибка п-го приближения е„ имеет порядок п-i при п=1, 2, ... и 8i<l.

Точнее, предположим, что возмущение [iHi в (3.2.1) находится в пределах: i<it<l при ж, у из некоторой области D. Если записать Ну в виде

Hi{y,x) = 2Л (a;)-exp(ffeV),

где feV = KHi -Ь... -f кпУп, ТО при Im у К р коэффициенты A-k (ж) убывают как М ехр (- fe р). Принимая во внимание (3.2.2), для цМ моншо получить оценку МбГ при 11ш у р - Sj. Величина Si. связана с величиной So, такой, что М при So>0

достаточно малом и iV достаточно большом. Следовательно, /<Sf при llmyM <р-S, = p,<p.-i<...<p. Можно предположить, что частоты системы фиксированы, и проаппрокси-мировать решение на неизвестный тор, определяемый в пространстве, в котором частоты в точности равны заданным. В полном доказательстве теоремы, данном Арнольдом [6], частоты не