ири s = 7t-f 1, при всех целых и ири выбранной некоторым образом постоянной 8(со).

Рассмотрим далее каноническое преобразование (у, а;)(у, а;), определяемое производящей функцией Гамильтона - Якоби

S {у, X) = 2 (4 + а.) J/ft + Ы + 2 xuY, {у), (3.2.5)

где ttft - постоянные, так что

X, = Sy. = х[ + а + Yy. {у) + 2 х.Уиу, {у), (3.2.6)

Уг = S, Ui + Yi {у). Из последнего соотношеппя, предположив, что матрица

является неособенной для г/, из некоторой окрестности точки у\, можно получить

yi = F,{y) = yi+Yay), (3.2.7)

являются фиксированными, а становятся меняющимися на каждом шаге приближения функциями действия. Упрощенный вариант теоремы Колмогорова был предложен Барраром [10]. Этот вариант сразу же приводит к некоторым следствиям в задаче представления Пуанкаре метода Линдстедта. Первоначально требовалась аналитичность функции Н, но Мозер [33] показал достаточность существования некоторого количества производных функции Н. Однако это требует применения процедуры сглаживания, которая будет обсуждаться в следующей главе.

Рассмотрим систему с гамильтонианом вида (везде суммирование проводится от 1 до п)

+ 2 fe (у) Хи т 2 Cj,j (у) xxj + D {у, X), (3.2.3)

где Н - аналитическая по всем переменным и периодическая (периода 2я) функция переменных у, Яо - некоторая постоянная, функция D содержит степени не ниже третьей относительно Хр,, а величины удовлетворяют условию

2/Л >e(Z\Jk\Y (3-2-4)

И, следовательно, преобразование (3.2.6) обратимо. Подставляя a;f из (3.2.6) в (3.2.3), находим

Я = + 2 WftCfe + 2 <hxh + «(0) + л* (у) +

+ 2 Bl (у) хк + А {у) + 2 Bi (у) хк +

2С(/)ад + Чу,ж), (3.2.8)

где (Sij=0, ьф}; 8ц=1)

А* {у) Bl (у)

«fea--4(y) -«(0),

+ Cj aj +

ду. -«-- fy.

+ 5ft (у),

{у) = 2Си{у)

дГ \ dY,

Dk (у),

CiF {у) = Си {у) + 2 Ск.г {у)%;% + Dij (у),

(3.2.9)

D\y, x) = D у,х+а +

1,-Щ-вЛу)-

- 2 {у) - 2 (у) х\х].

DM-D{y,a

A(y)=2{S;

дY \ dD [ , ay

а)а(«"Ь

Du{y)-2lih +

dY. \

dYj \ d-D I

дхдх

у,« +

dY \

Здесь надо заменить на у согласно (3.2.7). Цель введения константы «(0) будет объяснена ниже. Надо обратить внимание на ТО, ЧТО величины А* {у) и В {у) являются величинами первого порядка относительно а, Y, Т, которые полагаются малыми в некотором специальном смысле. С другой стороны, величины А и Вк являются величинами второго порядка по отношению к тем же переменным.

находим, что а; и F,* определяются уравнениями

C%a„ + Pi + Bf> =0 (3.2.13)

i (o)-fe) + Pf + 5* + 2 Cfai = 0 (3.2.14)

соответственно. Разумеется, надо предположить выполненными некоторые условия, а именно:

Целью метода является уничтожение величин А*, В, с помощью соответствующего выбора Y, а, Yk{k-l, п). Это можно Сделать следующим образом. Введем величины

Z] = еК

Тогда, в силу сделанны.т* относительно Н предположений, в частности, имеем

A(r,)=2:fl,eKft«) = 2«.s(*), (3.2.10)

где k={h, ..., К), ik-y) kiyi+...+k„y„, zC) = zf ... 4"- В силу тех же предположений, имеем

У{У)=11 Yj{y} = S Yf4\ (3.2.11)

Считая А* {у) = 0. из первого соотношения (3.2.9) находим

7(*) = -i(o)Tfe)-iaft, (3.2.12)

что и дает определение Y и «(О)- Теперь из второго соотношения (3.2.9), определив