|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 fe=i ; (3.2.17) б) матрица [С- неособенная. (3.2.18) Тогда для достаточно малых в Do функций \А{у)\ и Я {у)\ существует каноническое преобразование (у, ж)(Т, X), имею-иее вид х, = Х, + {Y)+:EEj{Y)Xj, (3.2.19) Уи -= Ffe + N, (У), такое, что функции Е, Е- 2п-периодичны по каждой компо-10 г. Е. О. Джакалья а) величины (wfe) не должны обращаться в нуль (для того чтобы выражения (3.2.12) имели смысл). б) определитель [С%] не должен быть равен нулю, чтобы уравнения (3.2.13) имели решение относительно вектора а= = (cci, ..., an); в) для получения констант У* из уравнения (3.2.14) должно быть выполнено условие (а). Также очевидно, что если А{у), В{и), Ckj{y) имеют конечное тригонометрическое представление в виде полиномов Фурье (относительноУ ), то производящая функция Л, определяемая формулой (3.2.5), также является полиномом Фурье относительно у. Описанную процедуру можно повторить и после применения последовательных канонических преобразований; в пр(!деле исходной гамильтониан примет вид Я 2«А + (Т) Х,Х, + А (У, X), (3.2.15) k h,j где в Д содержатся члены не ниже третьего порядка относительно компонент Zft вектора X. В этом случае система допускает решение (fc=l, ..., п) Z,=0, F,= co,(f~,)- (3.2.16) Теперь можно сформулировать теорему Колмогорова в следующем упрощенном виде. Теорема (Колмогоров). Пусть гамильтониан системы Я, имеющий вид (3.2.3), аналитичен в области Dq: Гд, \1тун < ро и удовлетворяет в этой области следующим условиям: а) для всех целых ненулевых одновременно чисел выбранной каким-нибудь образом постоянной 8 = 8(«) и s = n-\-i выполнены неравенства ненте Yj и аналитичны в области Aq, определяемой неравенства- ми 1 I < Гд, I Im I < Ро. Преобразование (3.2.19) отображает До в Do, а в Ао гамильтониан Н имеет вид (3.2.15). Доказательство этой теоремы состоит в основном в проверке того, что применение последовательности канонических преобразований вида (3.2.6) образует сходящийся процесс последовательных приближений при переходе от (3.2.3) к (3.2.15), а в итоге получается аналитическое каноническое преобразование. Теорема получается в результате доказательства ряда основных лемм, установленных Арнольдом [6, 7]. Здесь мы ограничимся упоминанием только двух главных лемм. Лемма 1. Если п ненулевых частот удовлетворяют условиям (3.2.17), если F{z)= 2 hk)Z\ (3.2.20) (ft)o и если S удовлетворяет уравнению то его решение (ft) (3.2.21) (3.2.22) удовлетворяет для выбранной соответствующим образом постоянной С следующим соотношениям: P-ft) =
11Г(Р), с 11Г(Р), (3.2.23) где норма функции в кольце Г(р) = {е-Р является верхней гранью абсолютной величины 2/,<eP} = {Imi/,<p} для всех к = i, ..., п и О <С h <С р. Доказательство леммы опирается на условие иррациональности (3.2.17), которое дает верхнюю границу для делителей, т.е. (o>Tfe)-i< 2l/ (3.2.24) где 6 - константа, зависящая от ге и s. Наиболее утомительная часть доказательства заключается в правильной оценке величин /(j)/(fe(i)) в кольце Г(р) и последующей оценке функции 5 и ее производных. Необходимые соотношения получены Арнольдом в виде ОСНОВНОЙ леммы [6]. Лемма 2. Рассмотрим величины 8о = max (IIА г(р„); Bj, Цдр.)) в, = шах(л>,(р,; " r\ - ro-2h, pi=:po- 0</i<ro/2, 0</i<po/4. Пусть Г(г,р) = {:г, <г, Im (i/,) < р; «}, \\F{y, ж) 1г(г, р) = sup I F (у, ж) I для всех (у, ж) е Г (г, р). Рассмотрим оценки max I I < 2iV, \\D{y, ж) г(.„, р„) < 2Л/, 1 С,,. г(р„) < 2М, где Chi - элементы матрицы, обратной к матрице [Ckj]- Пусть выполнено (3.2.4) и /Ке, f1/2 < Tq < 1. Тогда при выполнении этих условий существуют константы {к=\, .... s), зависящие только от N, М, п и такие, что, если 8о < h*/Co, то выполнены следующие условия: а) Преобразование (3.2.6) может быть записано в виде yt = yi + fi {и)-Р{у), = i -f (У) + S gij (у) = iy, X), (-- i где функции F,, Gi аналитичны при у e r(pi), a /,r(p.)<2fe, .г(р,)<-, .,j,(p<J, (3.2.26) и отсюда следует, что преобразование (3.2.25) отображает Г(гг pi) в Г(го-Л, ро-2/i). Кроме того, eipjSo- б) Новый гамильтониан определен для всех у, хизТ{г1, pi), \\cikp.)<l\CuhPo) + hC„ (3.2.27) 1(у, ж) 11г(г.р.) <IID (у, ж) г(..,,Р.) + hC„ (3.2.28) CiP (0) - Cj; (0) I < (- + Сб] h. (3.2.29) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [46] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0176 |
|