Детальное доказательство этой леммы приведено в работе Бар-рара [10]. Сначала используется лемма 1 для оценок

С"г,

(3.2.30)

где С, С", С" - постоянные, зависящие только от N, М, п. После оценок величину, Р, в Г(ро-h) проводятся оценки У» (из (3.2.14)) в Г(ро -2/i), получающиеся из леммы 1 в виде

maxiy,r(p,2.)<?5l

(3.2.31)

r(p„-2ft)fe+"

где опять постоянные C- зависят только от N, М, п. Затем используется теорема Рушо для того, чтобы показать, что

max Ул11г(р„-2Л)<2/1. Тогда преобразование (3.2.26) будет иметь обратное

11/(11г(Р -2Л)<2/1,

и оно отображает Г (pi) в Г(ро-2/i). Легко также видеть, что функции fi {у) являются 2я-иериодическими по каждой из переменных Уи, так что утверждение (а) леммы получается введением величины Со = max (С, С", С", С, С, п + 2), и, следовательно все величины

в кольце Г(ро-2h) меньше, чем hl{n-\-2). Аналогично, если у (pi), то из утверждения (а) следует: у е Г (рд - 2h). Все остальные оценки из утверждения (б) леммы 2 также следуют из простого использования формулы Коши и неравенства Шварца.

Доказательство теоремы Колмогорова. Предыдущие леммы сразу же приводят к доказательству теоремы. Действительно, гамильтониан Я, записанный через х из Г(го, ро), переходит в гамильтониан такого же вида, по зависящий от у , х из Г(го - 2h, ро - 4fe). Затем эта операция (определенная в лемме 1

дает Sm <а™ и

ЧТО заменяет условия ео< и bi < Ci/h из леммы 2.

Неравенство (3.2.32) будет удовлетворено, если положить hm== = 6/2" ш L> (23+з/бЗ+з)тах (Со, Ci) или L>1 в любом случае. Для исходного гамильтониана (3.2.3) предположим выполненными оценки

Clj\N, \\СиАгш<М,

и для выборасоответствующего Масгитаба положим го=1. Выбрав достаточно малое б>0, можно показать, что Sm->-0 в

/ 3 3 \ в Г у- Го, Ро j при m оо.

Осталось доказать, что предельное преобразование, получающееся итерациями леммы 1, удовлетворяет требованиям теоремы Колмогорова (уравнения (3.2.17) и (3.2.15)). Результирующее преобразование очевидно является каноническим, так как

И удовлетворяющая оценкам из леммы 2) повторяется. Введем определения

Гт+1 = Гт-2hm+l, Pm+l = Pm-4Лт+1.

На ттг-м гиаге гамильтониан Н определен в пространстве переменных {/"\ ж")) е г (г,„, р), и по утверждению леммы 2

8 = тах(М<">г(р„); Ц ЯПг(р,„)).

Основной вопрос заключается в проверке справедливости леммы 2 на каждом гиаге повторного использования преобразования, определяемого в лемме 1. Опять за деталями доказательства мы отсылаем читателя к работе Баррара [10]. Основой служат оценки леммы 2, получающиеся из условия

<- Z2±L о <Г-±-(е 2

-т ==г г; =т+1 , 3(+3 Ут/

Выбор удобной величины Z/>1, удовлетворяющей неравенствам

m+i max(C«,Ci) L% = a<l, (3.2.32)

в нуль определителя

в области D. Тогда показывается.

ОНО является комбинацией ряда канонических преобразований. Кроме того, суммарное преобразование Г™ после т итераций отображает Г(Гт+1, pm+i ) в Г (г,., р™), и область его определения / 3 3 \

содержит в себе Г1- Го, -4-Ро)- Поэтому Г*"" является равномерно ограниченным, и последовательность сходится к преобразованию Т, которое в точности равно (3.2.17).

В доказательстве Арнольда используются более строгие методы оценок, в то время как итерации функции Гамильтона Н, с помощью которых здесь определены все операщии из леммы 1, аналогичны итерациям Ньютона и, таким образом, обладают квадратичной сходимостью.

При обобщении теоремы Колмогорова на случай вырожденных систем, которое предложил Арнольд, предполагается, что в использованных выше обозначениях исходный гамильтониан имеет вид

+ A{y)+i: B, iy) X, 4- 2 {y) x,x, D {y, X), (3.2.33)

где n - малый параметр, например, порядка s (см. уравнение (3.2.4)). Другой случай, также крайне трудный для изучения, соответствует условию det {С,-} = 0. Возможно, что первый случай может быть изучен аналогично вышеизложенному случаю путем доказательства таких же лемм и теорем, но скорость сходимости будет значительно ниже, чем в общем случае.

Общая теория Мозера [35] иреднолагает обширные знания многих теоретических результатов алгебры и дифференциальной геометрии. Подход Мозера к невырожденному случаю значительно проще, особенно если рассматривать только аналитические возмущения, чего на самом деле не делается. По этой причине Мозер вынужден использовать очень сложные методы сглаживания, но, разумеется, получаются и более общие результаты.

Формулировка теоремы Колмогорова, используемая Арнольдом [6], также оказывается более общей, чем рассмотренная выше.

Рассматривается гамильтониан (3.2.1), аналитичный в некоторой области D фазового пространства, скажем В={\1шу\ < =р, xG) (А = 1, п), где G - открытое множество в R" и функция Гамильтона 2п-периодична по каждойизпеременныху. Основное предположение заключается в условии необращения