= =

которые удовлетворяют неравенствам

2 WfeWft

fe=i

(s = гг + 1)

для всех наборов целых чисел т, не обращающихся одновременно в нуль.

Эти условия в основном такие же, что и выписанные нами выше, а условие на Яо переходит в условие на определитель квадратичной части функции Я (относительно х, х,), которая имеет вид (3.2.3). В самом деле, такое условие весьма похоже на условие, введенное Арнольдом при обобщении теоремы Колмогорова на вырожденные случаи, т. е. на случаи, когда \dHuldXjdx\=Q. Что касается функции (3.2.3), то вырождение будет иметь место, например, когда одна из компонент вектора X не входит ни в сумму SfefeiHn в квадратичную часть 2 CfijXfXj. Очевидно, что первый случай делает невозможным условие (3.2.4), в то время как во втором случае система уравнений (3.2.13) для определения а» оказывается особенной. Как мы знаем из теории неявных функций, это приводит к разложениям по дробным степеням малого параметра, здесь - ц.

Проще говоря, теорема Колмогорова утверждает, что если функция Яо невырождена, то при достаточно малых аналитических возмущениях множество ненулевой меры инвариантных торов, определяемых Яо, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Однако переход с одного тора на другой не может быть получен непрерывным преобразованием, так как необходимо пересекать зоны рациональной зависимости частот сок.

ЧТО для каждого К>0 существует М(К, р, G, Яо)>0 такое,что если \\iH\\ < М в D, то траектории, определяемые гамильтонианом Н, таковы, что

1) Существует инвариантное множество D\ (вещественное), и если ReZ)==Z)i+Z)2, то тезОг KmesD.

2) Множество D\ состоит из инвариантных аналитических п-мерных торов Гщ, определяемых уравнениями

а; = Жи + /ш(11), = 11 + 0.(11),

/ш, ga - аналитические функции с периодом 2к по каждой из переменных у\к[к~{, п), а & - параметр, определяющий тор Та-

3) Движение, определяемое гамильтонианом Н, н)а торе Т является условно-периодическим с п частотами о) = (©i, ...,со„)

Необходимо, однако- отметить, что условие, налагаемое наЯо, можно сделать менее жестким и только предположить, что)

дх.дх дх. dff„

(3.2.34)

3. Вырожденные системы

В тех случаях, когда упомянутые условия для Ий{х) не выполнены, или в простейшей ситуации, которая встречается в теореме Колмогорова, когда матрица {С,} является особенной, а условия иррациональности (3.2.4) остаются справедливыми, доказательства Арнольда или Баррара не годятся. В раннем варианте своего доказательства [9] Баррар указал возможный способ исследования случая, когда гамильтониан имеет вид

от п

я = Л„ 2 «А + -Ь А (х) + цЯ (у, х), (3.3.1)

й=1 j=OT4-l

где 0 - постоянная величина, ар, - постоянный параметр (О < snSl). По сравнению с исходным гамильтонианом, занисан-ным в виде

(3.3.2)

причем

Я = Я„ (ж) + ц [Н,, (х) + Яр {у, X)], (Hpdy = 0,

частоты (dk определяются теперь формулами

(А = 1, ..., ттг), (/ = 77г + 1, ...,гг).

и предполагаются выполненными неравенства

й=1 i=m4-l

ДЛЯ всех не равных одновременно нулю целых чисел /р. Известно, что мера всех (А = 1, ..., п), не удовлетворяющих этим

) См. примечание в конце § 4 главы IV {прим. перев.).

для x=x°D. Если функция Hip достаточно мала, то существуют условно-периодические решения системы, соответствуюпще гамильтониану Н, и они имеют вид

Xi = ai + (e*, ..., ernt . .

где A; = 1, ..., m; / = m -f 1,..., re; i = 1,..., re. Функции ф», ф,-, ifj имеют одинаковый вид. В действительности доказательство осуществляется приведением гамильтониана (3.3.2) к виду (3.3.1) с разложением в ряд Тейлора и применением бесконечного числа канонических преобразований, уменьшающих на каждом шаге величину (, ж). Можно показать, что этот метод будет сходящимся при ге=2, m=i. Сходимость, однако, не может быть равномерной ни по отношению к р, ни но отношению к ж".

Теорема Арнольда [7] является гораздо большим достижением, особенно это касается свойств сходимости. Арнольд рассматривает функцию Гамильтона Н{у,х,г), где у = {yoiUi), х = = {Xq,Xi), ауо,Хо-векторы размерности по и i, «1-векторы размерности rei, так что re=reo-f-i равно числу степеней свободы системы. Функция Н предполагается 2л-периодической по каждой компоненте вектора уо и аналитической в области D = {XoGa, jlmoKp. liK, а e - веществен-

ный параметр и О < s < ео. Также предполагается, что существует разложение

Я = Яо (ж„) -f- еЯ (у, х) + еЯз {у, х, г),

где Hi может быть разбита на короткопериодическую Я] и дол-гопериодическую Hi части; при этом

Ях = Я (жо, ж1, yi) + Н\ (Жо, ж1, у о, у)

j>H\dy = Q,

т. е. многомерный ряд Фурье для Hi не имеет постоянного члена или, точнее говоря, он может быть включен в Hi. Долгопе-

условиям, меньше K8]i, где К - надлежащим образом подобранная функция от О)». Введем новое предположение