detl

Тогда при соответствующих ограничениях на Яг, Я], Hi, Ни, Hip для произвольной постоянной можно найти такое чис-

ло Ео {К, Но, Ни Go, р,Н,С,г), что при 0<,E<jEo, О < е < и

Я2<С, Я, <С, \Ни\<С, Я1р«:тах (а;,, \yi\), Я,<С

существуют условно-периодические решения данной гамильтоновой системы, покрывающие инвариантные торы Т ш, погруженные в область D\, являющуюся частью области D, и дополнение этой области D2, мало, в том смысле, что

mes D2<KmQS,Di.

Инвариантные множества аналитичны и мало отличаются (в некотором специальном смысле) от торов, определяемых условиями a;oft=a;oftB=const, т==Т4и=const. Векторные частоты условно-периодического движения на таком торе имеют вид

Эта теорема, так же как и теорема Колмогорова, имеет большой геометрический смысл. Она показывает сохранение определенных инвариантных многообразий при возмущениях. Она также подразумевает, что эти инвариантные многообразия могут быть параметризованы в торы), хотя условия невырожденности для Яо и смягчены.

) То есть эти инвариантные многообразия топологически эквивалентны соответствующим торам (прим. перев.).

риодическая часть также может быть разбита на секулярную часть Ни и чисто периодическую (по каждой компоненте вектора i) часть Hip, т. е.

Hi = His (Xq, т) + {х„ Хи Ui),

Щ п, п,

Ни = + S hi + S hiirj + 2 yUhifh +

i=i i,j=l i,j,R=l

Величины X с индексами являются функциями Хд, Я,;у = Ху;, а 2ч = + ylk (/с = 1, ..., Hj). Предполагается также, что в области Gq выполнены условия

при х=0, у =0. По предположению функция Н раскладывается в ряд Тейлора в некоторой окрестности точки (О, 0), так что

Н=Н2+Щ+Щ+..., (3.4.3)

где Up - однородные полиномы степени р относительно xi, . .., х„, Уи ..., Уп. В дальнейшем предположим, что все собственные числа квадратичной формы Н2 различны между собой. Обозначим их через Xi, .. ., Хп, -и • • м -п. Тогда существует линейное симплектическое преобразование, приводящее (3.4.3) к виду

Я = i Х,Х,Г, + Яз (X, Г) + HUX,Y) ... (3.4.4)

fe=i

Введем новые переменные по формулам

s,=X,, STi=F, {k=l.....п), (3.4.5)

где О < е < 1. Уравнения (3.4.2) теперь можно переписать так: 1.= -!, Л. = , (3.4.6)

Р==КкЩ + гР,а,г1,г), (3.4.7)

а функция Fi является степенным рядом относительно л, ц, е, начинающимся с членов третьей степени относительно л, т],,.

4. Возмущение линейных колебаний

Рассмотрим гамильтониан

НН{х,у), (3.4.1)

где х,у - канонически сопряженные векторы импульсов и координат размерности п, и пусть Н - вещественная аналитическая функция в области D 27г-мерного фазового пространства. Предположим, что х,у - вещественные переменные, а точка (О, 0) eZ) - изолированное положение равновесия системы

i=.~Hy, УиН (/€ = 1.....п). (3.4.2)

Предположим также, что

) Знаки величин (о выясняются на этапе линейной нормализации (прим. перев.).

2) Это утверждение автора ошибочно. Например, квадратичная часть гамильтониана Н =<л (х у) -\-2 YYxy в окрестности нулевого положения равновесия имеет чисто мнимое собственное значение ico, а тем не менее,

записанный с помощью преобразования х = ip {X + iY), у = у= (iX + У)

через переменные X, Y гамильтониан имеет вид Я=гсоХУ+(Х2+У2) (-У+ +iX), т. е. не все его коэффициенты являются чисто мнимыми. Чтобы утверждение автора стало верным, исходный гамильтониан должен обладать некоторыми специальными свойствами (прим. перев.).

) Эти полиномы обладают некоторыми специальными свойствами; см. (5.2.11) (прим. перев.).

Собственные числа могут быть вещественными или комплексными. Здесь мы будем предполагать, что точка (О, 0) является положением равновесия эллиптического типа, т. е. все - чисто мнимые. Мы также определим

К = i(i>k {к = I, ..., п).

где вещественные числа могут быть положительными или отрицательными, но не нулевыми). В этом случае коэффициенты функции Fi будут чисто мнимыми, и мы можем написать)

Fi = ~iHu

где Hi - степенной ряд относительно j„ ц,, с вещественными коэффициентами, и он начинается с членов третьего порядка относительно Ii, Tli.

После применения канонического преобразования

Uk=-Yuk, 1 = 2ПпА, (3.4.8)

или

= V2uu 1„ = -/"2u,e- (3.4.9)

уравнения (3.4.6) принимают вид

Этим уравнениям соответствует функция Гамильтона

Я= 2 С0й«й + 8Я1(И,1?,8),

где функция Hi периодична но каждой неременной с периодом 2я, а ее коэффициенты ряда Фурье являются полиномами относительно щ, ..., и„).