dt [ s дх)~ dxy S Qt j,

или в покомпонентной форме

[zu, z,] = О (Zft # Xl, Zft Ф xu), bk, X, [t, z,] = 5W/5z„

что и завершает доказательство.

В заключение получим соотношение Якоби - Пуанкаре. Из XI.2.12) находим

Мр = %хЧу - ldri -f (Z - ХЯ) dt,

и, следовательно, 5ля каноничности преобразования необходимо и достаточно, чтобы функция являлась полным дифференциалом, т. е.

ХхЧу-l4r\ + {K-KH)dt = dF, (1.2.13)

где все функции считаются зависящими от переменных г\, . Множество всех матриц А, удовлетворяющих условию

АМА М,

образует группу (по отношению к умножению матриц), которая называется симплектической группой.

Теорема (Якоби-Пуанкаре). Необходимым и достаточным условием каноничности неособенного преобразования принадлежащего классу С, и того, что новый гамильтониан имеет вид

KkH + W, (1.2.11)

является условие: форма

y==Kx4y-ld + Wdt (1.2.12)

есть полный дифференциал. Действительно,

= [--) dy-ldx + {w- Г f.) dt

и условия интегрируемости для гз имеют вид д

Случай % Ф i обычно исключают из рассмотрения. Канонические (и, следовательно, симплектические) преобразования с "Кф i еще и потому обычно не рассматривают, что они могут быть получены в виде произведения обычного канонического преобразования (А,>= 1) и очень простого канонического преобразования [Хф 1)

I = -Хх, т) = г/,

для которого в этом случае

J д (т). I) (1 О \ •о д(у,х)-\0

легко видеть, что

JlMJo = КМ.

Этот простой прием описан в книге Зигеля [65].

Исключая в дальнейшем случай К ф i, необходимые и достаточные условия каноничности запишем в одном из двух видов:

S (z) = ЛМ1 = М, Р (z) = 1МЛ = М, (1.2.14)

г (g. t)

• ~ dz

Условие Якоби-Пуанкаре запишется тогда так:

xdy-l-dr\ + {K-H)dt = dF. (1.2.15)

Если преобразование не зависит явно от времени t, то оно называется полностью каноническим, а если dF»=jO, то однородным).

Из результатов, полученных в § 1, мы также можем заключить, что преобразование, определяемое решением гамильтоновой системы уравнений и отображающее фазовое пространство на себя, является каноническим. Свойство сохранения объема было уже установлено выше. Тогда в более строгом виде зти утверждения можно сформулировать так.

Пусть Z == МЩ - гамильтонова система уравнений, и пусть существует единственное решение Z = z{, t), проходящее через

) Под однородным автор, по-видимому, понимает такое каноническое преобразование, при котором координаты и импульсы не «перепутываются», т. е. координаты переходят в координаты, импульсы - в импульсы: X шш х{%, t), у = у(ц, *)• Иногда такие преобразования называют еще точечными каноническими преобразованиями. См., например, [44.2], [1*], [2*] {прим. перев.).

3. Уравнение Гамильтона - Якоби. Обобщения

Рассмотрим неособенное, принадлежащее классу С, преобразование

г/ = г/(»1,1, ж = ж(г), I, г), (1.3.1)

И пусть в частном случае )

#0, г1-т1о<б, (1.3.2)

т. е. локально можно разрешить первую систему уравнений относительно 1\ И получить

Т1 = г1(г/, I, t),

и, следовательно,

х = х{у, I, t). Если существует функция S {у, , *), такая, что

dydi

и 5 е С, то преобразование, определяемое формулами

X-SI, Tj = Si,

является каноническим, а новая функция Гамильтона имеет внд К (Т1, l,t) = H [у (Г), I, t), X (Г), I, t), t)+{y (n, I, t), I, t).

Действительно, подставляя в (1.2.15) дифференциальное тождество

) Такое каноническое преобразование называется свободным (прим. перев.).

точку Z = при t = to. Предположим, что векюр-функция z (S, t) принадлежит классу относительно 2п + 1 переменных z, t в окрестности точки z=g и при достаточно малых \t-to\. Тогда отображение определяемое решением z=z(S, t) , будет со-

хранять объем и будет каноническим.