диди.

= 0.

с другой стороны, может оказаться, что функция

1. = - f ... f H{u,v)dvr...dv

(2я) { J

равна нулю и, более того, частоты нормальных колебаний со;, могут оказаться линейно зависимыми на множестве целых чисел. Однако в общем случае этого не будет. Именно с этой проблемой мы будем иметь дело в следующей главе, в которой строятся формальные ряды, являющиеся решением системы (3.4.10).

Важно отметить, что упомянутая проблема является частным случаем классической задачи о возмущениях линейных осцилляторов, т. е. задачи исследования уравнений (к = i, . .., п)

Ч + «К = s/ft (ж, X, г).

Эти уравнения легко приводятся к виду

щ = ги, г;» = co-i-sFt

с помощью преобразования

Ч + i(h4 = "fee",

т. е.

х» = и» cos г;», соХ;, = и*sin г;», (3.4.11)

где х, ж» {k==i, ..., п) -вещественные величины. Это и есть очень важная задача о возмущенных линейных колебаниях. Авторами основных результатов в этой задаче были: Крылов и Боголюбов [6], Ван дер Поль [42], Боголюбов [12, 13], Митропольский [28], Арнольд [1] и Мозер [29, 30].

Следовательно, задача построения решений в окрестности положения равновесия сводится к изучению возмущений интегрируемой системы дифференциальных уравнений, которая соответ» ствует гамильтониану

fe=l

Теоремы, сформулированные в предыдущих параграфах, к этой задаче неприменимы, так как

Рассмотрим сначала автономный случай дифференциальных уравнений

2 + ©2z= 8Z(Z, Z), (3.112)

где функция Z предполагается аналитической по z, z в некоторой

области фазового пространства (z, z) и по е при О < с 1, Частота © - вещественная и постоянная. С помощью преобразования

2=-sin, z = ]/Icox cos г/ (3.4.13)

это уравнение переходит в уравнения

= К JcosZ* {х,у) = eg(r, Z/), .V = со - spgZ* {X, I/) = (О + 8/ {X, у),

и будем считать функции и / периодическими по i/ с периодом 2я. Мы попытаемся получить такое преобразование (см. [34])

x = \-zv{x\, е)--еУ(т1, г)\ = х{\, т], s), (3 4

y = Ti-feu(Ti, e) = (ii, s),

что уравнения (3.4.14) сводятся к уравнениям

1 = 0(82), л = « + 0(1). (3.4.16)

Положив 1 = 0, мы, очевидно, сведем уравнения (3.4.16) к линейной интегрируемой системе.

Рассмотрим более общую систему уравнений

x = Q.-\-Mx-\- zg(x, у),

(3.4.17)

у = со -Ь А,-f s/(a;, у),

и будем считать, что существуют такие постоянные Q, М, %, зависящие от е, со, что система (3.4.17) сводится к системе (3.4.16). Решение этой задачи будет возможно, если систему алгебраических уравнений

£2(8, ©) = М(е, ©) = 0, g.

со = со -f Х(е, со)

можно решить для данных © и е из некоторого интервала О < 8 < ео. Мы предположим, что функции V, и являются не-

риодичеекими с периодом 2я по ц, аналитическими по е и и имеют нулевое среднее относительно ц. Более того, мы предположим, что существуют формальные ряды

Ж =81 + 822 + ..., (3.4.19)

Q = gQl + 82Q2 + . . .

в силу сделанных предположений об аналитичности можно записать

у = Уо + ei + еУг + . •.,

F= Fo + 8F, + 82F2 + ..., (3.4.20)

U = Mo + eUi + 8Ц2 + . •

где коэффициенты ь\, V, (к = О, 1, .. .) раскладываются в ряды Фурье; например,

Уд = 2 vje", vj = const, i

Из второго соотношения (3.4.15) следует, что

и, сравнивая это уравнение со вторым соотношением (3.4.16), имеем

Л f 8 rj = О) + f 8/ (х (I, т), 8), у (ц, е)). (3.4.21)

Из первых соотношений (3.4.15) и (3.4.16) получаем

= Q + М (I + 8У f 8F) + 8 (х il, 11. 8), У (Л, 8)). (3.4.22) Дифференцирование этого уравнения по дает

dl , dvdr\ \ dV • , dV dr\ , . dl

-М(1 + 8У) + б. (3.4.23) Считая уравнения (3.4.16) выполненными при =0, из (3.4.21),