/ь (0)

*Oft

=== - = const.

Аналогичным образом находим

1 = - 0 (0) = - U (0. л) dr\ = const,

Sk (0)

г;ой = --= const

(3.4.22) и (3.4.23) получаем

есо = Я + е/ {ev, ц + ей),

Шщ = а + ЕМи + ед{е1;,ц + &и), . (3.4.24)

ш= М (1 + eF) + е (ei;, т, + ей) (1 + еУ).

Осталось показать, что из (3.4.24) можно получить функции и, V, V, определяющие нужным образом величины X, М ж Q. Используя (3.4.19) и (3.4.20), для членов порядка О (г) получаем уравнения

=1 -г/(0,т,). o)f-Qi-t-g(0,T,), (3.4.25)

В силу сделанных предположений имеем

(кфО),

(кфО),

%{l)--=lgna)e\

Полагая

(кфО),

из первого уравнения (3.4.25) получаем

? = -/о(0) = -2( /(0,T,)dr, = const,

Л/,= - = - I I (0. ) = const,

v..-4™ = con,..

В общем случае нетрудно показать, что уравнения для членов порядка е* (А; = 2, 3, ...) имеют вид (3.4.25), т. е. в результате получим

11 = (Of + Tio,

л; = ЁУ (т), s) = S 2 2 syftje<af+o),

J= (3.4.26)

ft-o j

и, следовательно, учитывая (3.4.13), можно заключить, что мы нашли периодическое решение ( = 0) уравнения (3.4.12), обобщенного нами для того, чтобы можно было учесть члены, получающиеся при подстановке (3.4.14) в (3.4.17). Сходимость метода оказывается возможной, если предположить, что величина I (О I не слишком близка к нулю, и если предположить сходимость выражений (3.4.20) (см., например, [34]).

Типичным примером рассмотренной задачи является система автономных уравнений

zi = Z2, Z2 = -(ozi-j-sZ(zi, Z2),

в которых функция Z является полиномом относительно zi и гг. Эти уравнения можно переписать в виде

21 = 22,

Zi = (sCOl - (02)Zi + S(02Z2 + 82(21, Z2) ,

где P2 - полином, начинающийся с членов не ниже второй степени.

Предположим, что собственные числа задачи, определяемые уравнением

- X 1

ещ - CD? ещ - к

= 0,

различны, т. е. со ф 4-- 8(о. В этом случае линейная часть может быть приведена к диагональному виду с помощью И г. Е. о. Джакалья

где функции gK (к = 1, 2) являются полиномами относительно Xl, Х2, начинающимися с членов не ниже второго порядка.

Посмотрим, при каких условиях существует преобразование

а = фЫ = г/ + Ф*(г/), (3.4.28)

приводящее уравнения (3.4.27) к линейному виду

У = Ау, (3.4.29)

т. е. к виду = KUh (к =1, 2). Пусть функции являются степенными рядами относительно г/i, г/2, а разложение функции Ц>к начинается с членов не ниже второго порядка.

Используя выписанные выше соотношения, получаем такие уравнения относительно ф:

£Л = 7\Ф + (Ф). (3.4.30)

Учитывая вид функций легко проверить, что уравнения

ири п = 1, 2 дают коэффициенты функций ф, если только

ЪКТк-Ф (7 = 1,2), (3.4.32)

где pi и Р2 - целые неотрицательные числа, а pi + рг > 2.

Если вещественные части величин Я,* имеют одинаковые знаки, то доказательство сходимости можно провести так же, как это сделал Зигель [40] при доказательстве сходимости процеду-

линейного преобразования

zBx, 5#0, получающегося при условии, что

где А - матрица линейной части уравнений. В результате преобразования получаем

х= Ах + гВ-Ч1\ = \х g{x), (3.4.27)