Ypsiny, г = 1/2(0X003 г/ (3.5.2)

и получим систему

• 28

X = - xsinycosy F (t), y = (iy-±smyF (t),

(3.5.3)

уже рассмотренную для автономного случая. Далее, рассмотрим преобразование

X = I-)- еу(л, t, г) + bV{j], t, г)1,

У = г\ + ей (л, t,e)

>) В мучае, когда все ВеХ* вмеют одинаковые знаки и выполвеио

условие (3.4.32), доказательство сходимости проведено Пуанкаре [88.2]. Доказательство сходимости при невыполнении условий (3.4.32) проведено Дюляком [21*] {прим. ред.).

) Подробную библиографию работ, посвященных исследованию таких систем, см. в [22*] {прим. перев.).

ры построения периодических движений, определяемых теоремой Ляпунова, однако такое доказательство для общих случаев неизвестно ).

Важно отметить, что упомянутые выше предположения для уравнения Ван дер Поля

z-)-(o2z = e{i - z)z выполняются при со >> 8/2.

5. Линейные периодические возмущения

В заключение этой главы рассмотрим пример неавтономных

линейных возмущений. В частности, мы будем иметь дело с уравнением

z-\-(i>h = eF{t)z, (3.5.1)

где F{t)=F{t-]-2n) для всех t и F{t) является аналитической функцией для всех конечных t и имеет нулевое среднее значение. Проблемы, связанные с этим уравнением, были детально изучены сначала Чезари [16], а затем Гэмбиллом [18], Хейлом [21] и некоторыми другими авторами ). Здесь эту задачу мы будем рассматривать с помощью методов теории возмущений, специально приспособленных для ее решения, но отличающихся от методов, рассмотренных выше в § 9 главы П. Введем преобразование

И покажем, что существуют 2я-периодические по у я t функции V, V, и, такие, что уравнения (3.5.3) приводятся к виду

Tj=Q(e,(B)

(3.5.5)

при 1 = 0. Это позволит определить характеристические показатели Хилла в этой задаче. Следуя той же процедуре, что и в предыдущем параграфе, легко находим

+ ) = I- (1 + + (Л + ей) F (().

Отсюда, полагая са - Q = еЛ, получаем

+ Ш = + () (3.5.6)

+ f =(2л + 2б«)(), (3.5.7)

+ = J (1 + sF) sin (2л + 2su) (0. (3.5.8)

Предположим, что из уравнения (3.5.6) можно определить величину К и 2я-периодичвскую по f и л функцию и. Тогда правые части уравнений (3.5.7) и (3.5.8), поделенные на у и 1-ЬеУ соответственно, будут известными 2я-периодичвскими функциями f и л- Если V и l + eV удовлетворяют одинаковым начальным (или граничным) условиям, то, очевидно,

у = 1 + еУ.

(3.5.9)

С другой стороны, взяв частные производные по л от обеих частей уравнения (3.5.6), находим

т. е.

+i(f;)=-l="(2+2»)(o-(i+e").

Отсюда вытекает, что уравнение для 1-{-е9и/9л, правая часть которого берется са знаком минус, такое же, что и уравнение (3.5.7) нли (3.5.8). В частности, отсюда следует, что необходимо выпол-

5. ЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЗМУЩЕЙЙЯ 165

нение равенства

1п i + e + lnv = f{r\-Qt),

где / - произвольная функция. Положим / = 1п[(т1-0]> так что

+ jv = g{r\-Qt), (3.5.10)

где g - произвольная функция. Если удастся найти функцию, и (т), t), то с помощью алгебраических операций легко получатся функции у и 1 -Ь е У, но с точностью до некоторой произвольной функции. Если функция и является 2я-периодической по г\ ж t ж требуется, чтобы этими же свойствами обладали функции i; и У, то за функцию g{r\-Qt) необходимо принять какое-нибудь постоянное число, если только величина Q не окажется рациональной. Тем не менее, как мы вскоре увидим, этот последний случай надо исключить из рассмотрения, если функцию и необходимо Определять из уравнения (3.5.6). Следовательно, необходимо, чтобы

l+e- = А;(е, (о) = const. (3.5.11)

дг\ J

После учета этого равенства преобразование (3.5.4) при = О принимает вид

х = evil], t, е), y = r\ + eu{r\,t, е)

X = EV{Qt+r\o,t,E),

у = а1+цо+Еи(аь+цо, t, г), •>

где и, V - 2я-периодические функции по г\ = Qt-\-г\о и t. Эти функции не могут быть периодическими по t, если только не исключить случаи, когда величина Q является рациональным числом. Принимая во внимание (3.5.2) и (3.5.12), легко видеть,

Z = а (f) cos Qf -Ь р (f) sin ,

так что в действительности величина Q является характеристическим показателем Хилла. Применение описанного метода к уравнению Хилла в работе Джакальи [20] показало его преимущества по сравнению с классической процедурой вычисления бесконечного определителя.

Таким образом, осталось показать, что из уравнения (3.5.6) можно определить величину X = X{Q, со, е) и 2я-периодическую