|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 вращающейся системе координат) 0 = Л" и, следовательно, преобразование формально расходится, в том смысле, что uei{dHoldXidx=Q, но модифицированное условие dx.dXj удовлетворено, и теорема Колмогорова применима. Интересно отметить, что если выписанное выгпе условие выполнено, то существует функция F = Ф (Я) = Ф (Яо) + е..., такая, что функция Ф(Яо) невырождена в обычном смысле. В качестве примера можно взять фужцию F = Я2 = 75" + ссх. \ 1 и в результате получить det{dFo/dXidXj} Ф 0. в) Устойчивость положения равновесия и периодических ре-гпепий в спстеме с двумя степенями свободы в общем эллиптическом случае. Важным приложением является круговая ограниченная задача трех тел (см. работы Арнольда [1] и Леонтовича [27]). Наилучгпее решение этого последнего вопроса было дапо в работе Депри [17]), которые использовали важные работы Мозера [32] и Гельфанда и Лидского [19] 2). В окрестности такой эллиптической точки гамильтониан может быть записан в виде я=2т«(4 + г/Ю Если coiffla > О, то устойчивость гарантируется тем, что квадратичная форма Яг в Я будет знакоопределенпой ), хотя это ус- ) Окончательное решение задачи об устойчивости лагранжевых решений плоской круговой ограниченной задачи трех тел получено в работах [23*], [24*] {щим. ред.). 2) В действительности упомянутые работы Мозера и Гельфанда и Лидского не имеют непосредственного отношения к исследованию, проведенному Депри {прим. ред.). ) В этом случае устойчивость устанавливается на основании теоремы Ляпунова об устойчивости, если за функцию Ляпунова принять знакооп-ределенный гамильтониан Я, полная производная которого в силу уравнений движения равна нулю {прим. перев.). Рц Pl2 «1 Р21 Р22 Из coi 0)2 О то положение равновесия = Ук = О (/с = 1, 2) устойчиво. Это условие в точности соответствует общему условию невырожденности в четвертом приближении, которое получили Мозер [33] и Арнольд [6] при решении задачи о существовании инвариантных кривых для возмущенного закручивающего отображения и при доказательстве теоремы Колмогорова о сохранении условно-периодических движений соответственно. Распространение этой теоремы на случаи большей размерности для получения таких же результатов, что и в системах с двумя степенями свободы, невозможно. Геометрическая причина этого заключается в том, что промежутки между торами размерности больше двух в общем случае не являются ограниченными областями. В действительности можно построить примеры, когда такж, положения равновесия эллиптического типа являются неустойчивыми). Распространение результатов Колмогорова на случай вырожденных систем было дано Арнольдом но крайней мере для двух простых примеров: в классической задаче получения условно-периодических решений из периодических невозмущенных орбит [2] и в вырожденной задаче взаимодействия двух планет [4]. В первой задаче он рассматривал движение точки {уи у) на торе 2. Это движение будет условно периодическим, если ) Простой пример гамильтоновой системы такого рода см. в работе [25*] {прим. перев.). ловие и является только достаточным. Для доказательства устойчивости в случае coico2<0 функция Н приводится к нормальной форме до членов четвертой степени, что, в соответствии с результатами Биркгофа [11], можно сделать, если 7itt>i-b/2fO2=?0 при 0</i+72 < 4, или если \(iil(iii\фpq при р, q = l, ... ..., 4. Укороченная нормальная форма в этом случае будет иметь вид Тогда теорема Арнольда утверждает, что: Если для системы уравнений, соответствующей функции Гамильтона Н, J /(Уь y2)dy,>0 для всех Ух.. Тогда для всех достаточно малых %А{К) можно найти 8(Х) и замену переменных z = z%{yi, У2), аналитическую по Ух и у2, такие, что уравнение (3.6.5) приводится к виду dz/dy2 = Я. Множество е{Х) при ХеЛ имеет положительную меру и нуль является точкой накопления множества. где л - иррациональное число. Близкая система (возмущенная) дифференциальных уравнений на торе может быть записана в виде ; = Х +а+ 8/(1/1,2), (3.6.3) где а, 8 - параметры, а функция /(j/i, уг) предполагается аналитической. Теорема Колмогорова в этом случае подразумевает, что если возмущение 8/(j/i, у2) достаточно мало, то можно найти такое а = а/(8), что при соответствующей замене переменных уравнение (3.6.3) примет вид (3.6.2). Это и было показано Арнольдом в работе [3]. Вопрос о вырождении здесь возникает тогда, когда X = О (или рационально), так что невозмущенное движение является периодическим и происходит по окружностям У1 = const. В случае иррационального К приведение (3.6.3) к виду (3.6.2) использует тот факт, что величина пк-{-т может быть ограничена снизу с помощью неравенства \пк + т\>К\%\п- (3.6.4) для всех целых т ш пфО. Арнольд показал, что если К{К) есть множество всех X, удовлетворяющих условию (3.6.4), а А - объединение всех А.{К) ири .К >> О, то предельная точка множества А при К из интервала (О, 1/4) есть нуль, и нуль является также точкой накопления А. Арнольдом установлеЕШ две следующие теоремы. Теорема 1. Пусть на торе Т2 дано дифференциальное уравнение dyildy2 = гЦуиУг), (3.6.5) где 8 - параметр, а f - аналитическая функция. Пусть точки yi + 2я и У2 + 2я отождествлены с точками ух и г/2, а 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 [54] 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.011 |
|