) Важные результаты в этой задаче получены в работе А. Д. Брюно [26*] (прим. перев.).

зволяет условие (3.6.1). Имеется как собственное вырождение, так и вырождение, обусловленное переходом от круговых орбит планет к эллиптическим.

Определив лаграпжево движение как движение медленно вращающегося в плоскости эллипса, у которого большая полуось, эксцентриситет и долгота перицентра совершают короткоперио-дические колебания малой амплитуды. Арнольд доказал следующее утверждение [4]. Рассмотрим движение двух планет в одной плоскости вокруг Солнца, и пусть их обпщй центр масс неподвижен, а flft и е{к=1, 2) -большие полуоси и эксцентриситеты орбит планет. Определим в восьмимерпом фазовом пространстве область .0(6): 0<Сь<аь<Сь; еь<б {к=1, 2). И пусть т=цаи{к=1, 2)-массы планет, где - постоянные. Тогда имеет место такая теорема.

Теорема. Для любого цО существует е>>0 такое, что если n<Ze, б<;е, то большинство точек области 0(б), за исключением множества меры, меньшей T)mesO(6), движется так, что

1) точка всегда остается в О (б);

2) она совершает условно-периодическое движение на аналитических четырехмерных торах из О (б);

3) она всегда остается ближе, чем т), к точке в фазовом пространстве, которая совершает некоторое лагранжево движение.

По существу, этот результат является решением вопроса об устойчивости, в том смысле, что для упомянутого исключительного множества, везде плотного и неограниченного, движение будет топологически неустойчивым. Арнольд также сделал аналогичное заключение о наблюдаемых в природе щелях в распределении малых планет).

При отсутствии линейных целочисленных связей между частотами медленно изменяющихся переменных (средние долготы планет), в соответствии с теоремой Колмогорова, можно применить метод усреднения относительно таких переменных. Гамильтониан приводится к виду

где L = [Li, Lo)-усредненные переменные действие, соответствующие средним долготам, а

li-fiT]ft=eiexp [ш) (й=1, 2),

Иа - долгота перицентра планеты номер к. Затем гамильтониан приводится к (укороченной) нормальной форме в окрестности

можно показать, что при достаточно малых е для большинства начальных условий (так же, как и в предыдущей теореме, исключительное множество является связным, всюду плотным и неограниченным) движение, определяемое гамильтонианом Н, для всех моментов времени мало отличается от условно-периодического, определяемого частотами yj=dHjdXj=ai (где для 7=1, ..п Xj - постоянные) и гамильтонианом Н = Нд{х) -\--\-г Hi(x). Начальные условия должны быть таковы, чтобы

/ к \-h-\

/>1+ ... +7>J>H2

устойчивого положения равновесия 4=т1д=0, т. е. к виду

F = F,{r) + F,ir, 6), где г = (Г1, г), в = (01, 0г), F = 0 (г«), а

Следовательно, в новых канонических переменных (г, 9) F = F,{L) + llF,{L,r) + 0{ll гз).

При этом Г1=0(е). Частоты vi и V2 являются величинами порядка 0{ii), т. е. они соответствуют медленно меняющимся углам 01, 02. Условно-периодические решения получаются использованием итеративной процедуры ньютоновского типа, в которой достигнута квадратичная сходимость.

Оригинальная формулировка теоремы Арнольда для вырожденных систем, обобщающая описанный выше результат, может быть изложена в следующем виде. Пусть гамильтониан имеет вид

Н = Ho{xi, ..., х„) + sHi{yi, ..., у„, Хи ..., ж„),

где к<Сп, функция Hi является 2л-периодической по каждой из переменных yt и аналитической при же!) и Im <;. Предположим, что при 8=0 движение является условно-периодическим и определяется формулами

= = = 0 <г = 1, ••,/)

yi=Xj=0 {} = k+i, п).

При условии, что среднее значение от Hi по отношению к i, ... Уь. не зависит от Уь+и ..., Уп, т. е.

Hiy, х) dy... dy = Hj (х),

дх.дх.

(i, / = /с -Ы, п)

являются неособенными. Пусть Т - тороидальная область

{\шх = Imy = 0; xD; 0<г/г<2я, i = 1, ..., n}.

Для данного произвольного т) > О существует 8о>0, такое, что, если е<;8о, то в Т есть аналитические п-мерные инвариантные торы, и движение на них является условно-периодическим. Торы образуют в Т нигде не плотное множество, мера дополнения которого меньше цтевТ.

.Эта теорема является более простой эквивалентной формой сложной теоремы Арнольда, приведенной в § 3 настоящей главы. Стоит отметить, что предшествующая теорема о планетарном движении является очень важной, так как она дает решение проблемы в случае, когда имеется два разных типа вырождения: предельное вырождение г=0 (или 6=0), соответствующее круговым орбитам, и собственное вырождение (1 = 0, при котором для описания певозмущенного движения необходимо меньше частот, чем для описания возмущенного движения.

Для общих линейных систем, рассмотренных в четвертом (уравнение (3.4.17)) и пятом (уравнение (3.5.3)) параграфах, наиболее ранние результаты были получены Боголюбовым [13] и дополнены Митропольским [28]. Новые результаты в этой области были получены Мозером [34] и затем улучшены в замечательной работе [35] того же автора.

Боголюбов [12] установил следующую теорему.

Теорема. Если B.eQk~i<.0 и г достаточно мало, то система

yQy + Eg{t,y, г), (3,6.7)

где Q = diag(Qi, ..., Q„), имеет почти-периодическое решение, если g{t, у, г)-почти-периодическая функция. Если g{t, у, е)- условно-периодическая функция с базисными частотами coi,..., со„ и аналитическая, то таким же будет и решение этих уравнений.

Как мы уже видели в этом разделе (уравнение (3.6.3), теорема 1), система

х = (д-\-% + г1{х,Е, Ц (3.6.8)

для выбранной соответствующим образом постоянной К. Точнее, можно сформулировать следующую теорему. Теорема. Пусть при xD матрицы