(3.6.9)

xa + l + ef {х,у,Х,г), y=Qy + eg{x,y,k,e)

предположить, что

\M>y\jr\ ReQ,<-v<0, (3.6.10)

то существует Х=Я-(е), такое, что система обладает п-парамет-рическим семейством условно-периодических решений

X = at с гп {at с, г), г/ = {at -Ь с, б),

где все рассматриваемые функции аналитичны по всем входящим в них аргументам.

Вектор X предполагается п-мерным, а вектор у - т-мерным. Мозер [34] показал справедливость этих результатов для случая, когда f тз. g дифференцируемы, сведя задачу к исследованию потока на торах. Однако он пошел еще дальше и доказал следующую теорему.

Теорема. При условиях

\i{fa)-Q\-y\j\~\ i={h,---,}n), \i{ra)-Q + Qi\y\Jr {k,l==i,...,n)

существуют к=к{г), ц = р.(б), М=М{г), аналитические по г, уничтожающиеся при г = 0 и удовлетворяющие условиям

Q*fi - О, MQ*-Q*M=0, где * означает транспонирование, такие, что система уравнений

x = a + K + ef{x,y,e,l,ii), (3.6.11)

у ==Qy + li + My + eg {X, у, е, %, fi).

допускает решение для Х=Х{г) вида

X = (at -\- с -\- ги {at + с, е),

где с -соответствующим образом подобранный постоянный вектор c=(Ci, с„). Это утверждение было доказано Арнольдом.

Основная теорема Боголюбова сводит воедино оба этих типа систем й может быть сформулирована следующим образом.

Теорема (Боголюбов [12]). Если для системы дифференциальных уравнений

где X- п-мерный, а у - т-мерный векторы, f,g- аналитические по всем аргументам и 2л-периодические по Xi, ..., ж„ функции, имеет условно-периодическое решение с частотами (д, Q.

Это означает, что существует такое аналитическое преобразование

ж = 1 +ей (1,8), /4 6 12

y = Ti + 8Pa,8) + 8F(,8)Ti, >

что выписанная выше система (3.6.11) принимает вид

i=«+0(T,), ii=QTi+0(Ti2).

Уравнение Хилла, В качестве примера того специального случая, с которым мы имели дело в § 5, рассмотрим уравнение Хилла

Z -f- coz = 28z 2 oft cos 2А;т, (3.6.13)

(0 = 1 +е-I 8 + 1 8» + 0(8*). Введем замену переменных

Z = sin у, Z = /2(вх cos у

и получим

= 2 ft 2 + + 2 (у - кх)],

(3.6.14)

г/ = (О- 8 2 2 h[ COS 2А;т - cos 2 (г/ + /ст) - cos 2 (у - кх)].

Теперь найдем преобразование координат вида (3.6.12), т. е, х=1+гХ{г\, X, г)-\-ъХ{ц, т, е), у = ц-гг¥(ц, X, е),

и приведем уравнения (3.6.14) к форме

k=0{), n=Q-fO(),

где для некоторого Я,

Q=(o-8Я,(е, со), А] > 8I/-«

при выбранных соответствующим образом е и а. 12*

Y=Y„b\ X = fl + e

ft>0

Уравнения для определения Y при А; = 0, 1, 2, ... имеют вид

+ -=K + GAK---h-u4,r), (3.6.15)

и мы определим величину А, как среднее значение от -по отношению к г, т. Действительно, легко видеть, что в (3.6.15) по предположению имеет вид

G, = 2GSf>exp[i(pTi + 5T)],

так что в силу сделанного предположения об иррациональности Q имеем

Л[(Р,9)

рО. + q

для всех р, q, не обращающихся одновременно в нуль. В случае уравнения Хилла (3.6.13) находим (см. [20])

Я/Q = 7\i- = %2 - О Я/д

16C02(Q2- 1) •

Следовательно,

или, подставляя значение со, получаем

20: 32

Q=l-b8-8-83 + 0(8*),

что совпадает с выражением для со (см. [15], стр. 276), полученным при вычислении бесконечного определителя последовательными приближениями от главной диагонали. Здесь исполь-

•Зигель [41] показал, что при 0<Й<1 множество значений Q, которые не удовлетворяют выписанным выше условиям {к, / - целые числа и /=50), имеет меру, меньшую чем 2ne(l-f8)/3.

В соответствии с уравнением (3.5.4) и утверждениями, приведенными в конце § 5, положим

К = 2 Я,e = 2 Ff ехр i {рц + qx),

h>0 p,q

1, , 5У\-1