зованы те же обозначения, что и в работе автора [20]: x=t-to, г = т=п-п,

где величины t, to, п, п определены в работе Брауна [15].

Для изучения общих методов построения условно-периодических решений нелинейных уравнений рассмотренного выше типа с помощью сходящихся разложений в ряды мы отсылаем читателя к работе Мозера [35]. По нашему мнению, эта работа содержит в себе большинство из того, что было сделано в теории возмущений. Системы уравнений в вариациях в окрестности положения равновесия или периодического решения также рассмотрены в этой работе, и там можно найти много интересных ответов на исследуемые здесь вопросы. Что касается резонансных случаев или случаев рациональности частот со, Q, то они будут рассмотрены в конце главы V настоящей книги именно с этой точки зрения.

Другие применения теоремы Колмогорова. Кроме уже упомянутых примеров, мы закончим этот раздел указанием на то, что Баррар [8] использовал теорему Колмогорова для доказательства существования условно-периодических орбит искусственных спутников сжатой Земли. Однако он пе мог рассматривать орбиты с эксцентриситетами, стремящимися к нулю, из-за появляющегося предельного вьрождения. Такое рассмотрение можно провести, еслп использовать упомянутый выше модифицированный подход Арнольда.

Мозер применил [30] теорему Колмогорова для построения условно-периодических решений уравнения Дюффинга без демпфирования

x+ax-{-bx = sf{t, X, х), (3.6.16)

где / - условно-периодическая функция времени t с базисными частотами coj, ..., соп и вещественная аналитическая функция относительно х, х. Как обычно, считается, что при x>n-i существует постоянная х>0, такая, что условия

1усо + /о>х1ур, i={H,---,in)

удовлетворяются для почти всех ©. При этих условиях Мозер показал, что при /, удовлетворяющей еще условию

j{t, X, x)=f{-t, X, -х),

существует вещественная аналитическая функция а (г) и условно-периодическое решение x=(f{t, г) с базисными частотами СО], ..., (о„, такие, что а(0)=а, ф(г, 0)=0. В конечном счете это еще не дает решения уравнения (3.6.16), так как коэффцци-

ент при X должен быть приведен к некоторому а{е)фа. Метод, развитый Мозером, не является просто непосредственным применением теоремы Колмогорова, а некоторым новым подходом к рассматриваемой конкретной задаче, также и потому, что не требуется, чтобы исходное уравнение имело гамильтонов вид. Члена рассматривается как возмущение. Уравнение переписывается в комплексной форме

z=iaz-{-bx-{-Ef{t, X, х),

где z=:x-{-ix, а а/а полагается изменяющимся на отрезке [1-ц, i-\-ix] при малом II. Запишем

y=a-a=0{ii),

так что уравнение примет вид

z=i{a+y)z-{--Eg{Q, Z, I),

где в=(9,, 9„), Q,=<uJ.

Тогда существует преобразование координат

у = ц-{-и{ц), z=t.+v{Q, 1,1, Ц),

такое, что в результате ряда последовательных приближений уравнение приводится к виду

который и используется для доказательства упомянутого результата.

ЛИТЕРАТУРА

1. Арнольд В. И. Об устойчивости положений равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае.-ДАН (ХСР, 1961, т. 137, № 2, стр. 255-257.

2. Арнольд В. И. О рождении условно-периодического движения из семейства периодических движений.-ДАН СССР, 1961, т. 1Э8, № 1, стр. 13- 15.

3. А р н о л ь д В. И. Малые знаменатели I. Об отображениях окружности на себя.-Изв. АН СССР, Сер. матем., 1961, т. 25, № 1, стр. 21-86.

4. Арнольд В. И. О классической теории возмущений и проблеме устойчивости планетных систем.-ДАН СССР, 1962, т. 145, № 3, стр. 487-490.

5. А р н о л ь д В. И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики.-Снб. матем. ж., 1963, т. 4, № 2, стр. 471-474.

6. Арнольд В. И. Доказательство теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.-УМН, 1963, т. 18, № 5, стр. 13-40.

7. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классичеокой и небесной механике.-УМН, 1963, т. 18, № 6, стр. 91-492.

8. в а г г а г R. В. Existence of conditionally periodic orbits for the motion of a satellite around an oblate planet.- J. of Appl. Math., 1966, vol. 24, p. 47-55.

9. В a r r a г R. B. A proof of the convergence of the Poincare - von Zeipel procedure in celestial mechanics.- Am. J. Math., 1966, vol. 88, p. 206-220.

10. В a r r a r R. B. Convergence of the von Zeipel procedure.- Celest. Mech., 1970, vol. 2, № 4, p. 494-504.

11. Бжркгоф Дж. Д. Динамические системы.-М.: Гостехиздат, 1941.

12. Боголюбов Н. Н. О некоторых статистических методах в математической физике.-Киев: Изд-во АН УССР, 1945.

13. Боголюбов Н. Н. Об условно-периодических решениях в нелинейных задачах механшш.-Киев: Изд-во АН УССР, 1963

14. Брауэр Д., Клеманс Дж. Методы небесной механики.-М.: Мир, 1964.

15. Brown Е. W. An introductory treatise on the Lunar theory.- London: Univ. Press, 1896.

16. С e s a r i L. Sulla stabilita delle soluzipni dei sistemi di equazioni differcnziali lineari a coefficienti periodici. Atti Accad. Ital. Mem. Clas. Fis. Mat. e Nat., 1940, t. 11, p. 633-692.

17. DepritA., Deprit-BartholomeA. Stability of the triangular lagrangian points - Astron. J., 1967, vol. 72, № 2. p. 173-179.

18. Gambill R. Л. Criteria for parametric instability for linear differential systems with periodic coefficients.- Riv. Mat. Univ. Parma, 1954, vol. 5, p. 169-181.

19. Г e л ь Ф a h Д И. M., Л и Д с к и Й B. Б. 0 структуре областей устойчивости линейных канонических систем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.-УМН, 1955, т. 10, № 1, стр. 3-40.

20. Giacaglia G. Е. О. Transformation of Hills equation - a method of solution - Astron. J., 1967, vol. 72, № 8, p. 998-1001.

21. H a 1 e J. K. Sufficient condition for the existence of periodic solutions of first and second order differential equations.-J. Math. Mech., 1958, vol. 7, № 2. p. 163-172

22. Канторович Л. В. Функциональный анализ и прикладная математика.-УМН, 1948, т. 3, № 6, стр. 89-185.

23. X и н ч и н А. Я. Цепные дроби.-М.: ОНТИ, 1935.

24. Koksma J. F. Diophantische approximationen.- Berlin: Springer-Verlag, 1936.

25. Колмогоров A. H. Общая теория динамических систем и классическая механика. Международный математический конгресс в Амстердаме.- М.: Физматгиз, 1961, стр. 187-208.

26. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику.-Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

27. Л е о н т о в и ч А. М. Об устойчивости лагранжевых периодических решений ограниченной задачи трех тел.-ДАН СССР, 1962, т. 143, № 3, стр. 525-528.

28. М и т р о и о л ь с к и й Ю. А. Проблемы асимптотической теории нестационарных колебаний.-М.: Наука, 1964.

29. М о S е г J. The resonance lines for the synchrotron. Geneva, p. 290-292, Proceed. CERN Symp., 1956.

30. M 0 s e r J. Combination tones for Buffings equation.- Comm. Pure Appl. Math.. 1965, vol. 18, № 2, p. 167-181.

31. M 0 s e r J. The stability behavior of the solution of hamiltonian systems. Lecture notes, S. I. D. A., 1965.

32. M 0 s e г J. New aspects in the theory of stability of hamiltonian systems.- Comm. Pure Appl. Math., 1958, vol. 11, № 1, 81-114.

33. Мозер Ю. 0 кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.-Математика, 1962, т. 6, Л: 5, стр. 51-67.