34. М о S е г J. On the theory of quasi-periodic motions.- SIAM Rev., 1966, vol. 8, № 2, p. 145-172.

35. Мозер Ю. 0 разложении условно-периодических двпженш! в сходящиеся степенные ряды.-УМН, 1969, т. 24, № 2, стр. 165-211.

36. Мозер 10. Новый метод построения решений нелинейных дифференциальных уравнений.-Математика, 1962, т. 6, № 4. стр. 3-10.

37. Nash Р. The imbedding of Riemmanian manifolds.- Ann. Math., 1956, vol. 63, № 1, p. 20-63.

38. R ii s m a n II. Uber die existenz einer normalform inhaltstreuer ellip-tischer transformationen.- Math. Annalen, 1959, b. 173, s. 64-77.

39. Зигель К. Л. Об интегралах канонических систем.-Математика, 1961, т. 5, Л« 2, стр. 103-117.

40. 3 и г е л ь К. Л. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гами.льтона в окрестности положения равновесия.-Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 129-156.

41. 3 и г е л ь К. Л. Лекции по небесной механике.-М.: ИЛ, 1959.

42. Р о 1 В. van der. Forced oscillations in a circuit with nonlinear resistance.- Phil. Mag., 1926, vol. 2, p. 21-27; 1927, vol. 3, p. 65-80.

43. У и T T e к e p E. Аналитическая динамика.-M.: ОНТИ, 1937.

ГЛАВА IV •

ВОЗМУЩЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЙ, СОХРАНЯЮЩИХ ПЛОЩАДЬ

1. Предварительные соображения

Согласно теореме Лиувилля, поток гамильтоновой системы в фазовом пространстве сохраняет меру, т. е. сохраняется фазовый объем.

Рассмотрим общую спетому обыкновенных дифференциальных уравнений

xfix,t), (4.1.1)

где х= (xi, ..., Хп), / = (/i, .. .,fn). Пусть функции / аналитичны в области D пространства /?" и периодичны но f с периодом 2л. Предположим также, что при всех t функции / принадлежат но крайней мере классу относптельно t. Если х е D, то существует, и притом единственное, решение этой системы уравнений

xg{x„t), (4.1.2)

такое, что

g (Жо, 0) = (Жо, t)=ne {Хо- t), t).

Рассмотрим отображение

Т: x-g{x,2n), (4.1.3)

которое является однозначным в окрестности точки х = Хо. Обозначим через д-кратпое последовательное применение отображения Т, например,

Т-.хТ: g (X, 2л) g[g(x, 2л), 2л].

Пусть ж = О - решение системы уравнений (4.1.1). Тогда, очевидно, точка X = О является неподвижной точкой отображения Т" {q - целое положительное число), т. е.

Т:х=х. (4.1.4)

Здесь стоит упомянуть следующие определения.

д{х\, ...,<)

имеем /=:1.

Рассмотрим теперь гамильтонову систему уравнений

х,= -Ну у,=Н, (k=i,...,n), (4.1.5)

где функция Гамильтона

Я= H{x,i/,t) Н{х, у, t +2л)

является аналитической в некоторой области D фазового пространства, содержащей в себе начало координат, и для всех конечных t она принадлежит по крайней мере классу относительно t. Пусть точка {х,у)={0,0) является положением равновесия системы (4.1.5).

Пусть ( хо, Уо)0 и пусть

х= f{Xo,yo,t), y=g{Xo,yo,t)

будет соответствующим решением системы уравнений, аналитическим в D. Рассмотрим отображение

ix* = f(x,y,2n), y*-=gix,y,2n) (--б)

) То есть предельный цикл {прим. перев.).

а) Неподвижная точка х является особой, если в D существует такая ее окрестность, что в ней нет других неподвижных точек отображения Т. Отметим, что в общем случае неподвижная точка отображения T {q - целое положительное число) соответствует периодическому решению системы уравнений (4.1.1) с периодом 2nq. Если эта точка особая, то периодическое решение также особое ). Очевидно, понятие, введенное Уиттекером [39], является частным случаем данного определения.

б) Неподвижная точка х является неособой, если в любой ее окрестности, принадлежащей области D, существует по крайней мере одна другая неподвижная точка. Соответствующее периодическое решение тогда называется неособым.

Здесь мы будем в основном рассматривать преобразования, сохраняющие площадь, т. е. такие, для которых в соотношении

I /1 dx\ ... dxn = dx-i ... dXn, где / - матрица Якоби, а / - якобиан