3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОВИ 25

получим

хЧу + Tidl + - Я) л = d (F + ITi). (1.3.3)

Если положить

5 = F + rri = 5(y,

то из

и из (1.3.3) находим

х- = - = х- {у, I, t), = -Ц- = (у, I, О, (1.3.4)

X = Я + 5,.

Для того чтобы записать преобразование в явном виде, потребуем, чтобы

dydl

В этом случае получаем

I = (у, X, t),

и, следовательно,

г\г\{у, X, t)

при выполнении очевидного условия дг\/ду \ Ф 0. Так как предполагалось, чтоеС то отсюда \Ьу1дх{\ #0, и, следовательно, используя (1.3.2), возврагцаемся к (1.3.1).

Для наших целей весьма важным результатом является последнее из уравнений (1.3.4), которое мы перепишем явным образом так:

КШ, I, t), I, t)=H {у, X {у, I, t), t)+ -g- {у, I, t). (1.3.5)

Если преобразование не зависит от времени явно, т. е. St Ф О, то новый гамильтониан является просто образом старого гамильтониана при отображении z-

Основная проблема Гамильтона-Якоби заключается в вопросе о сугцествовании преобразования, генерируемого функцией S и такого, что новый гамильтониан сводится к некоторой абсолютной константе или, что эквивалентно, к функции, тождественно

равной нулю. Другими словами, мы ищем рашение такого дифференциального уравнения в частных производных:

H{y,Sy,t) + St = 0, (1.3.6)

где S = S (у, I, t). Как хорошо известно, Якоби показал, что общее решение этого уравнения находить не нужно, а надо только найти его полный интеграл, т. е. функцию S(y, , t), зависящую от п произвольных постоянных I и такую, что I dS/d \ ф 0. В этом случае новые переменные tj, \ являются константами, и соотношения

Т1 = т1(у, ж, f), = (г/, ж, f),

которые получаются из (1.3.4), соответствуют In интегралам движения. Ясно, что если исходная гамильтонова система интегрируема в смысле существования и единственности решения уравнений

то производящая функция 5 (у, , t) должна существовать (при этом она может и не выражаться через элементарные функции). Действительно, так как решение определяет каноническое отображение Z = Z (S, f), где % - вектор начальных условий, и так как для t=to ду1дч\ = 1 (единичная матрица), то при достаточно малых f -fol имеем \ду1дч\\фО., и, следовательно,

S = Vy + {t-t,)F{y,l,t) (1.3.7)

при достаточно малых f - fo в полном соответствии с соотношением (1.1.19).

Проблему Гамильтона-Якоби можно обобщить, ослабив условие того, что новый гамильтониан должен быть абсолютной константой. С точки зрения методов канонической теории возмущений эту обобщенную проблему уместно рассмотреть более подробно.

Мы хотим узнать, существует ли каноническое преобразование, генерируемое функцией 5 (у, , t), такое, что новый гамильтониан соответствует системе с меньшим числом степеней свободы, чем число степеней свободы системы, которой соответствует старый гамильтониан.

Один из способов решения этого вопроса состоит в приведении гамильтониана к виду

К{г\, l,t) = H{y,x, t) + St{y, 1,0.

для которого

дК/дц, = о (1.3.8)

3. УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА - ЯКОБИ 27

при к>= Л, 2,..., р < п. Получившаяся система, очевидно, сводится к квадратурам, если р = п или 1). Это - самое меньшее, что надо потребовать от преобразования, но такое требование намного менее жесткое, чем предлагаемое в методе Якоби. Можно также потребовать, чтобы нввый гамильтониан не содержал явно времени. Такая процедура в обш;ем случае называется методом усреднения (см. [9]) и она обычно используется, если Н является периодической функцией времени t. Можно также легко обобш;ить это понятие на случай условно-периодических функций времени. Если Н зависит от некоторого малого параметра 8 и допускает тейлоровское разложение вблизи е = О, то можно показать, что суш;ествуют формальные ряды относительно е, которые дают решение для S до любой желаемой степени параметра 8. Свойства сходимости таких рядов в обш;ем случае неизвестны. Задача сугцествования таких рядов и их сходимости, строго говоря, относится к теории периодических поверхностен (см. [19], [20]) и к теории Мозера [55] инвариантных кривых при сохраняюш;их плош;адь отображениях. Последний из упомянутых вопросов будет подробно рассмотрен в главе IV настоящей книги. Качественное описание этих проблем можно найти в работе Кинера [42], посвященной исследованию движения спутника в гравитационном поле сжатой планеты. Теория Дилибертов настоящей книге подробно не рассматривается. Этот подход на самом деле имеет отношение к изучаемым здесь вопросам, но его описание можно найти во многих книгах (см., например, [19], [33]).

Новый подход к изучению канонических преобразований был предложен в теории Ли [45]. В задачах динамики ряды Ли были использованы в различных случаях, и их хорошее описание, как основы исследования, можно найти в работе Лейманиса [44]. Совсем недавно эти ряды были введены в методы теории возмущений для нелинейных гамильтоновых систем, а затем также распространены на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих некоторым незначительным ограничениям, причем эти уравнения не обязательно должны иметь гамильтонову форму. Такие примеры применения рядов Ли будут обсуждены в главах II и V. Здесь мы только хотим описать то, что необходимо для понимания такого применения. Мотивом для введения рядов Ли служит такой простой факт, что если данная система зависит от некоторого параметра, то обычно бывает известно ее решение при нулевом значении этого параметра. Затем строится решение в виде ряда по степеням параметра, или в случае автономной системы решение может быть получено

) По-видимому, для случая р - п-1 автор предполагает, что функция К не зависит от времени (прим. перев.).