В окрестности начала координат. Очевидно, точка (О, 0) являетг ся неподвижной точкой отображения Т. Так как функции f vi g являются аналитическими в окрестности точки (О, 0), то их можно разложить в ряды Тейлора

а:*=/(0. О, 2л)-ь дх

y* = g{0,0,2n)+%

о- + ¥

Принимая во внимание, что =gg = О, и определив

2* =

получаем

дх ди \

д 1 4 =/(,У), /, = /(0,0),

\дх ду)

2* = /о2-Ь . . .

(4.1.7)

Заданное таким образом отображение Т является каноническим, т. е. должно быть /=1 и, более того, матрица / должна быть симплектической (с единичной валентностью)

FEJE,

Е ==

-I \

а /„, On - единичная и нулевая матрицы размерности пХп. Этими же свойствами, очевидно, обладает и матрица /о, а отображение (4.1.7) сохраняет площадь. Рассмотрим линейное отображение

1* = /о1

(4.1.8)

с собственными числами задачи, соответствующими алгебраическому уравнению степени 2п относительно Я

\Jo-U\=0.

Так как свободный член этого уравнения равен /о, то ни один из его корней не равен нулю. Пусть - собственные векторы, соответствующие собственным числам Я,, т. е.

1 т

Jo--Г" -

= 0,

а так как

/о - Я/] = /о-Я/ =0, то если Я является собственным числом, тогда и i/X - также собственное число. Таким образом),

Я1Я2 . . . Я2п= 1.

Пусть все Я различны между собой (они могут быть вещественны или комплексны). Если существует линейное преобразование

такое, что где

L-i/oL=A=diag (Я1, Язп),

и отображение (4.1.7) можно записать в виде

Z* = AZ + -{Z). (4.1.9)

Так как отображение (4.1.9) является аналитическим в окрестности начала координат Z = О, то можно написать

) Это сразу видно из того, что \Jo\ = i {прим. перев.).

Отсюда последовательно получаем равенства

JlEJgU = \JlEUf, Euu = КЛЕщ,

так что является решением такого характеристического уравнения

у* =

где необходимо, чтобы

/1 =

и, следовательно, отображение (4.1.10) сохраняет площадь. Запишем теперь отображение (4.1.10) в виде

Х: = Х,С/„ Yl = YuVn (/с = 1, ...,/г), (4.1.11)

оо оо

Uu-IL (X, Г), 7, = S <?*m (X, Г), (4.1.12)

m=0 m=0

а и - однородные полиномы степени т. Разумеется, при этом мы имеем

Обсуждение свойств неподвижных точек отображений вида (4.1.10), которые- сохраняют площадь, имеет первостепенную важность в теории динамических систем, но выходит, к сожалению, за рамки настоящей книги. Тем не менее, в качестве введения в результаты, излагающиеся в следующих параграфах, мы хотим упомянуть некоторые факты, касающиеся свойств отображений в окрестности неподвижной точки (подробнее см. [5], [35]).

Основная теорема утверждает, что для автономной системы

x=f{x), х{х,, ...,Хп)

и начальных условий а; = е D прп =0 и при условии аналитичности функции / (ж) в D существует, и притом единственное, решение а; =а; (, ?), такое, что а;(,0) = и функция ж (, t) аналитична по t при t из максимального интервала О t<,T. Еслп для точки решение х{\, t) является периодиче-

ским с периодом 2л и оно лежит в D, то отображение

ж* = ж(, 2л) имеет неподвижную точку в D.

где к=1, ..., п, а рт и qm - однородные полиномы степени т относительно Xi, ..., Х„, Fi, ..., Fn- В векторной форме можно написать

Х* = ?.Х + ф(Х,Г),