й = 1й + Фй(,л),

(4.1.15)

Нормальную форму Биркгофа

•к==л...(1,л), --

п п п

Uk = K-1i aiilj-ni +22 «4,;,г1;Л;1гЛг+ • • •, 3=1 3=1 г=1

п п п

vk = \k+ ъЬЬч] +22 blUiilii + .•

j=i i=i!=i

) См. также работы А. Д. Брюно о нормальных формах [8*-12*]. Другой подход для неавтономных периодических систем, использующий метод точечных отображений, использован в работах А. П. Маркеева [27*], [28*] (прим. перев.).

В общем случае для данного преобразования, определенного в некоторой области D, задача заключается в решении вопроса о существовании и нахождении неподвижных точек этого преобразования. Теоремы Брауэра и Пуанкаре - Биркгофа о неподвижных точках являются типичными примерами такого рода задач. Вторая теорема немедленно находит себе применение во многих задачах динамики, так как соответствующая область является типичной для инвариантных многообразий, встречающихся в динамике. В этом отношении теория возмущений имеет дело со свойствами отображений в окрестности неподвижных точек или, в более общем случае, с поведением инвариантных многообразий, соответствующих отображениям, сохраняющим площадь при действии возмущений. В историческом отношении решающей проблемой явилась проблема нормализации отображения в окрестности неподвижной точки, решению которой посвящена оригинальная работа Биркгофа [4] и недавние исследования Густав-сона [10]).

Хорошо известно, что сохраняющее площадь отображение

yh = \hXk + gk {x, у)

при [1=1/* не может быть приведено, если рассматриваются не исключительные случаи, к нормальной форме

Ih = Klk, 4h = fiftTlfe (4.1.14)

с помощью преобразования

С ПОМОЩЬЮ преобразования (4.1.15) опять же можно получить в виде формальных рядов, в общем случае расходящихся. Тем не менее, можно найти, преобразование, приводящее отображение (4.1.13) к виду, совпадающему с нормальной формой Биркгофа до приближения любого порядка, хотя остаточные члепы и не стремятся к нулю по мере того, как порядок приближение стремится к бесконечности. Этот факт для систем с одной степенью свободы естественным образом приводит к теореме Биркгофа о неподвижной точке.

Пусть теперь начало координат является неподвижной точкой (отображения) эллиптического типа и пусть отображение имеет вид (4.1.13) и сохраняет площадь. Матрица Якоби / этого преобразования является симплектической, т. е.

ГЕ1=Е.

Если, в частности рассмотреть замену переменных (4.1.15), где А: = 1, п, то производные dxjd, dyjdr] равны единице в начале координат =Т1 = 0 и, следовательно, существует производящая функция W{y,i,), такая, что

Ч = Wy, Т1, = W. (4.1.17)

Функция W является аналитической в окрестности точки {у, I) = (О, 0), а ряд

и = 2г/й1й+... (4.1.18)

в этой окрестности - сходящимся. Производящая функция Сбудет описывать любое преобразование типа U (см. (4.1.15)). При приведении к нормальной форме Биркгофа ряд для производящей функции W, тем не менее, в общем случае является расходящимся. В этом случае рассмотрим функцию W*, полученную отбрасыванием в W всех членов, степень которых выше 2т-{-2, т. е. функцию

W*= + 2 ... уЛГ ... In", (4.1.19)

ft=l p,q

где суммирование по р и g производится по всем значениям Qi, р„ удовлетворяющим неравенствам

3<2 (Pi+ ?.•)< 2т+ 2.

Мы получаем

=Hft = lfe + ft(y,), r\k = W\ = yk + NAy,l),

в начале координат ==0. Следовательно, в окрестности начала координат можно написать

y,4.+Y,{%n), х,=%,+Х,{%ц). (4.1.21)

Ряды (4.1.21), разумеется, являются сходящимися в окрестности начала координат и приводят отображение (4.1.13) к виду Г*, который совпадает с нормальной формой Биркгофа (4.1.16) с точностью до членов порядка 2m-{-i. Для получения Г* требуется только выполнение условий Я]=?1,где /= = 1, ..., /г, а s=l, . .., 2m--2. Если такое условие не выполнено, то в W* появляются нулевые делители, точнее, они появляются первый раз в членах порядка 2к2т-{-2 при Я = 1)-

Пусть т,- 2. Так как мы считаем начало координат неподвижной точкой эллиптического типа, то Г* имеет вид

; = e, + фkЧl,Л),

где функции фй и h имеют порядок не ниже четырех, так что достаточно взять

Важным условием является то, что не все одновремен-

но могут быть нулевыми. Если р1 окажутся именно такими, то необходимо найти приближение более высокого порядка. Если это условие нарушено в любом порядке, то система является чрезвычайно особенной. Такая ситуация может быть связана с задачей о резонансе в консервативной системе.

Очевидно, числа и Pi являются вещественными и, более того, 11=1 (черта означает комплексное сопряжение). Отсюда следует, что Ци = bt, так что необходимо рассматривать

) В действительности должно выполняться более сильное требование ... Х,"=71,где - целые числа, а --...--ls„ =1, 2,...,2m--2 (прим.

ред.).

а по предположению