Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [62] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

2 ОБЛАСТИ ДВИЖЕНИЯ 193

ТОЛЬКО соотпошеппя

= -г i Pii/li. =

С другой стороны, разложение экспоненты имеет вид где члены более высокого порядка входят в Фй\ а

Следовательно, в векторной форме

A=diag .. ., Knii+ibn)}.

(4.1.22)

Ilpn ?г = 1 это преобразование удовлетворяет теореме Биркгофа о неподвижной точке. Распространение этой теоремы на случаи ?г > 1 не является справедливым. При числе степеней свободы ?г == 2 для консервативной системы существуют случаи, когда теорема может быть верна. Например, когда гамильтониан периодичен по одной из переменных.

2. Области движения. Возмущения укороченной нормальной формы Биркгофа

Псследованпе асимптотического поведения решений гампльто-новых систем включает в себя, в частности, изучение областей возможного движения, инвариантных множеств, соответствующих некоторому множеству начальных условий. Эта задача является также частью задачи об устойчивости таких решений. Решения, которые рассматриваются в этом случае, являются периодическими пли условно-периодическими. Введем ограничивающее опреде-.чение, полезное для наших целей: функция z{t) == ф (0i,..., Э„) является условно-периодической, еслп

а) функция ф периодична по каждой из 9 {к = i, .. .,2);

б) функция ф обладает некоторыми свойствами регулярпости, например, принадлежит классу С"", или С", или является аналитической;



) Величины 0)1,со„ называются базисными частотами условно-периодической функции z{t) (прим. перев.).

в) 0ft = сог + (к = I, п), где Oft, Шь - иостояпиые;

г) 2 iW/i = 0> где р„ - целые числа, тогда и только

тогда, когда 7)1= ... =7>„ = 0 ).

Как мы уже видели, если система с 1ам11Льтоииаиом П{х,у) является интегрируемой в смысле Лиувилля, то в общем случае движение будет згсловно-иернодическим, и соответствующее инвариантное множество состоит из /г-мсрпых торов, параметризованных угловыми переменными % = coi-f (fc = l,и), где все cOfc линейно независимы на множестве целых чисел. Это эквивалентно существованию такого канонического преобразования л), что новая функция Гамильтона, выраженная через иеремеилые , л, будет зависеть только от переменных (т. е. от gi,...,

Это преобразование может определяться производящей функцией Гами.льтона - Якоби S (, у), такой, что

И, следовательно,

Eft {х,у) = const (А- = 1, ..., ге)

(ж, у) = {х (I, у\), у (I, х\)) = (I) = const

== сог -f а*.

Траектории при этом остаются на некоторых /г-мериых торах. Изменение начальных условий будет менять только начальные фазы т]ь(0), а сами торы не изменяются. Изменения начальных условий для приведет к измепспию частот со или к изменению «радиусов» торов, т. е. ..., „. Действптсльпо, функция W должна удовлетворять уравнению

rrldW dW \ , ,

№ г/1 ••-г/п] = «(Ез,

так что энергия зависит только от ..., „, и любые изменения начальных фаз не влияют па значение энергии.

Условно-периодические движения обладают следующими важными свойствами.



lim \ F (coif + «1, ..., co„i + а„) dt

= J • • J F...,yn)dyi... dy.

b b

3) Существуют .значения i,----1?,, такие, что для некоторых

не равных одновременно нулю це.Лых чисел pi, ..., Рп справедлпво равенство

= 0.

в этих случаях решение системы уравнений является периодическим. Таким образом, периодическое решение связано с существованием неподвижной точки сохраняющего площадь отображения, так что решение вопроса о существовании периодического решения сводится к изучению таких особых точек. Более того, аналогичные утверждения справедливы и относительно свойства устойчивости.

Как мы видели, в окрестности неподвижной точки эллиптического тина можно определить инвариантные торы с помощью возможного усечения нормальной формы Биркгофа. Нормальная форма показывает, что в окрестности точки эллиптического типа каждая ннварпантная окружность радиуса г с центром в начале координат (которое является неподвижной точкой) отображается на себя посредством преобразования кручения

а{г) = «о + air + ачг -Ь ...

Если рассматривать возмущения, ока.чывасыые отброшснпымп при нормализации членами, то основная задача состоит в определении того, что происходит с инвариантными окружностями (или торами). Из теоремы Колмогорова [17] следует, что большинство окружностей не разрушается, а лишь слегка деформируется. 13*

1) Траектории всюду плотны па торах. Это означает, что для любой заданной области D точка {x{t),y{t)) такова, что существует конечное время t=x, для которого {х (т), у {%)) е D.

2) Траектории на торах равномерно распределены, т. е. вреш Ai, в течение которого точка остается в области Z), пронорцио-нальпо мере области D для достаточно больших Ai. Другими словами, для любой функции Р{уи ..., г/„), где г/&=ш&+аь, й-инте-грируемой на торе, среднее значение }io врелгени равно частному среднему значению по фазовым переменным



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [62] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0071
Яндекс.Метрика