а--2.П

где о - целое число, большее четырех, т ж пф Q - целые числа, то теорема Мозера [26] гарантирует, что при достаточно малых {А отображение имеет инвариантные кривые, близкие к окружностям X* = const, которые являются инвариантными кривыми отображения То. Другими словами, инвариантные кривые отображения То мало изменяются при малых возмущениях.

С другой стороны, если существует интеграл 1{х,у) = const, то, очевидно, J {х*,у*) = J {х,у) и, следовательно, кривые 1{х, у) = const являются инвариантными кривыми. Это дает необходимое условие существования интегралов системы (4.3.7), близких к интегралам х = const при ц = 0.

Наконец, посмотрим, как условие а{х)фО выражается в терминах исходного гамильтониана. По определению

-г- {х„ х (х,))

где фо и го можно сразу же выписать в явном виде. Действительно, при ц == О гамильтониан К ~ Ко{х) и, следовательно,

у (т, X,. у,) Уо + т, X (т, у,) = х,

а отсюда оц/сог == (л{х). Считая а{х) = 2ла{х), отображение Го можно записать в виде

X* = X, у*- = уа{х),

что в точности совпадает с видом отображений, изученньгх Мозером. Отображение в конечном счете может быть записано в виде

X* xr\G{x,y,),

y* = y + a{x)+i,F{x,y,i,), --"

а величину х можно считать определенной в кольце О < а <=хЬ. Ясно, что отображение (4.3.10) сохраняет площадь, т. е. площадь dxdy инвариантна относительно Г„. С другой стороны, легко видеть, что, в силу сделанных предположений, функции G и F периодичны по г/ с периодом 2л. Если в данном кольце имеем а,{х) > О, а а{х) удовлетворяет условию

Таким образом.

[dxJ

дш, , аЯр dx, дн„

[ dxj дхдхг dxi j

dXjdxj

Ьт„ dxX Ч.

8xj dx-

Но из определения Hq{xi, Хг) = h следует, что

и, следовательно,

dx dx.

дН„ dx Q dx dx

d a

где Л - определитель:

\ дХ2

(4.3.11)

который должен быть отличен от нуля. Это условие является менее жестким, чем условие, рассмотренное Колмогоровым [17], а в деиствите.1Ы10стп оно было получено Арнольдом [3] в его теореме. Здесь оно является следствием гипотезы Мозера [26] ).

4. Спстемы со многими степенями свободы

Рассмотрим аналитический (в некоторой области) и 2л-цери-одический по каждой компоненте У\, .., Уп вектора у гамильтониан

H=H,{x)-liHAx,y). (4.4.1)

При ц = О условно-периодические решения

y,, = Qu{x)t + yl, х,=4 (/с = 1, ...,п), (4.4.2) лежат на торе !„, и поток является эргодическпм. Вдоль каждого

) См. прпмсчапно п конпр ? i (прим перев.).

у;=- (=1,...,.-1), (4.4.4)

/ = f{xu ..., Хп-и Уи ..., Уп-и т, h, ц).

Если функция в аналитична, то функция / также будет аналитична. Опять изучение решений системы (4.4.4) может быть сведено к изучению определяемого системой (4.4.4) отображения Г„ плоскости т = о в плоскость т = 2л. Действительно, пусть в плоскости Уп = т = о выбраны начальные условия х1, у1 (к - = 1, ..., п-1). Решение уравнепнп (4.4.4), проходяпее через точку при т == О, будет пметь вид

х„=хи{т. х\ у\ и), Ук У к (т. х\ у\ и)

( = 1, п- {), (4.4.5)

и, следовательно.

i х1 = Хь (2л, X, у, и), Т,\ I (=1, ...,,г-1). (4.4.6)

I, Ук =Ук{2л, X, у, ц)

С другой стороны,

= --§ = -(ь..., -„-.), (4.4.7)

так что при ц - О {к - i, ..., п - 1)

% f о 0 4,0 (--S)

решения системы уравнений, соответствующих гамильтониану (4.4.1), мы имеем

Н (x{t),ij{t))=h=const.

Предположим, что дН/дхфО. Тогда мы можем решить уравнение II = h относительно Хп и найти

Хп = f{xu ..., Хп-1, у\,..., Уп, h, р,). (4.4.3)

Обозначая г/„ = т п исключая из уравнений время t, пмеем df df

.ч -