Положив aft = 2nQJQ„, получаем {к = i,..., п - i)

тJ,r• , (4.4.9)

и при ц о (/с = 1, ..., /г - 1)

I х1=х + {хи з;„ 1, у1, ..., jf„ i), J- ii\ *

[Уь=Ук + к {хи • • •, 2;„-i) + Fk (Xi, .. -, x„ i, ..., 5f„ i)

(4.4.10)

где переменные x берутся из кольца О < Ясно, что функции Gk и Fk зависят от р и должны стремиться к нулю при р->О.Так как система уравнений (4.4.4) является гамильтоновой, то отображение Гц сохраняет площадь. Если существует первый интеграл системы (4.4.4), то он является инвариантным по отношению к отображению Гц. Более того, периодические решения периода 2пр, где р>0 - целое число, должны быть таковы, что

К (х, у) - {х\ у»),

т. е. точка (ж°, у") является неподвижной точкой отображения Гц.

Па геометрическом языке теорема Колмогорова теперь может быть сформулирована в следующем виде. Мы хотим определить, при кпких условиях отображение Гц имеет инвариантные множества, близкие к инвариантным множествам (торам) отображения Го.

Рассмотрим Го, определенное в кольце О < х & (к = ~ i, ..., N), при условии

Торы Т, являющиеся прямым произведением N окружностей Xk = const, инвариантны относительно отображения Го. Рассмотрим теперь отображение Гц, где F ш - ограниченные и 2л-пе-риодические по у\,..., ук функции. Предположим, что каждое замкнутое ограниченное множество, близкое к и представленное в виде

X, = МУи ., г/я) = U{yi + 2л, ..., у + 2л), (4.4.11)

пересекается со своим образом при отображении Гц, где функции dfk/dy, удовлетворяют некоторым условиям ограниченности. При сделанных предположениях теперь можно показать, что отображение Гц имеет ограниченные замкнутые инвариантные множе-

ства при достаточно малых значениях функций F,, и и при условии, что эти функции являются некоторое число раз дифференцируемыми.

Здесь мы ТОЛЬКО дадим схему доказательства этой основнсй теорел1ы, начав изложение с некоторых важных лемм. При N = \ детальное доказательство было дано Мозером [26].

Теорема. Для данных в>-0 ы целых s>-l отображение имеет ограниченное замкнутое инвариантное множество

(4.4.12)

где р и q- N-мерные векторы, периодические по каждой компоненте y\,...,yN вектора у, принадлежащие классу С и при, лЬ+(/i,s<B, удовлетворяющие условиям:

а) каждое замкнутое множество и его образ при отображении Ту,, определяемом формулами (4.4.10), имеет хотя бы одну общую точку;

б) в кольце О < < < bft, - а» > 1 можно найти такое Со > что

t (да., (х)) „

Тогда можно найти такую функцию /о(в, s, Со)>0 и целое число m{s), чго Fj.C", GC" и

l.o+G,o<6o,

(4.4.13)

Более того, отображение, индуцируемое множеством (4.4.11), имеет вид

Ук = у1 + ак{х)==у1 + а„. (4.4.14)

Точнее, для данного а, удовлетворяющего условиям а,к{а) + в < < а(Ь) - в,

2 hh + jV+i2Jt

JV \-iV-l/2

(4.4.15) (4.4.16)

при всех одновременно не равных нулю целых числах j\ существуют инвариантные множества (4.4.11) с ак{х) = а,(коэффици-ент кручения).

В теореме использовано обозначение

я.=-р(;*---(4У"/(-.

где S = Si -)-...-)- s„, а ж е D- область определения функции /И-

Сначала можно доказать такое вспомогательное утверждение. Лемм а. Данное отображение

(? . (/с= 1, iV),

\Ук=У%Л- ХиЛ- ik (х-, У)

определенное в кольце О < = х < Ъ, где Л, gk - 2л-периоди-ческие по каждой компоненте У\, ..., Ук вектора у функции, bk - ак> 1/Со и

а) б)

U.<6o,

(4.4.17)

(4.4.18)

при Р1 + в)

+PN+qi+...+qN=m,

йа + в < aft < Ьа - B,

( N -,-(,+N+3/2

21/.,

(o > 2iV -f- 1) - це.-гое число), можно привести к виду

I *

Ук = Ук+х.

Это нрпведеппе можно осуществпть с помощью итерационной процедуры, очень похожей на процедуру, иснользованную при доказательстве теоремы Колмогорова. Однако в данном случае итерации сходятся таким образом, что отклонение от уменьшается

вместе с бо , где п - номер итерации, а q может быть взято равным 4/3.

Действите.льно, пусть три параметра Q, М, б удовлетворяют соотношениям

M = Q>Q>1, б =

4 , б(а + 1), m=3 + llv. (4.4.19)

q = .

Параметры Qn-u M„-i, бп-ь получающиеся при итерации номера