при условии, что на каждом шаге

/.i + k.K<6.-i при \x,,-a,\<j, (4.4.20)

\D\K-.U I + /)"Л/. ,И<0"-Г+"м+-+-+ (4.4.21)

при + ... + qn + pi +... + pif = т.

При re = 1 соотношение (4.4.20) совпадает с (4.4.17) при достаточно малых б. Более того, беря Л/о> 1/в и \х, - ак\ < ЦМо<С < 8, мы, разумеется, имеем < = Ь. Аналогичным образом соотвлшение (4.4.21) при п = i совпадает с (4.4.18). Действительно, вз (4.4.18) следует, что

так как М > Q. Таким образом, в силу того, что

qi + ... + + Pi + ... + Рк = т > у,

получаем

так как <?о > Со. Следовательно, при п = i мы должны взять Мо > 1/8 И (>о > Со, т. е. бо < 82, бо < С\ и в конце кондов бо можно взять «много меньшим, чем» выписанные выше величины.

Теперь мы подходим к доказательству основной леммы, которая нуждается в упоминании двух хорошо известных утверждений. А) Рассмотрим разностное уравнение

S{y+a)~S{y)=F{y), (4.4.22)

где S п F - периодические функции периода 2л по каждой компоненте Уи ..., Ук вектора у и они имеют нулевое среднее. Пусть вектор а удовлетворяет неравенствам

2 /fettft -г 2л?\у+1 > 8 S I /fe I , (4.4.23)

п - 1. связаны с Q, М, б соотношениями

где x > 27V + 1 - целое число. Тогда, если функцпя F (у) имеет T>2N-\- 1 иеирерывных производных по каждой комнопенге Уз, то уравнение (4.4.22) имеет иенрерывное решение, татхое, что

(4.124)

где С - произвольная постоянная, которая не зависит пи от одного из параметров. Более того, можно взять S{0) = 0. Депсгви-тельпо, используя для функции F разложение в ряд Фурье

F Ffeib-v),

получаем решение в виде

JY-0 « -1

(4.4.2.5)

где j =(/,, ..., /л). Так как функция F имеет х непрерывных про-Н.ЗВОДНЫХ ПО каждой компоненте у,, то

liK 2 1/. ik-l

где 2/ftl0- С другой стороны,

2sini-(y„)

- е i

к 1

-T+]Vf J/2

ДЛЯ достаточно малых г, и, следовательно,

- ]V-l/2

[к 1

и ряд (4.4.25) является абсолютно сходящимся. Для того чтобы показать справедливость оценки (4.4.24), достаточно взять

c = y.{i\jk\}

jO [k-i J

-iV-1/2

(4.4.20)

Как следствие отсюда получаем, что если F (ж, у) является 2л-периодической функцией по yi, ..., yN н имеет нулевое среднее, ТО, как и раньше, можно реигить разностное уравнение

S{x,y-[ a)~-S{x,y) F{x.y)

S\o<~ DlFl.

Б) Мы можем определить действие операции сглаживания (см. [26, 3]) на функцию 2N переменных. Б некотором специальном смысле в результате этой операции функции F {х,у) будут аппроксимироваться функциями Ф (ж, i/), которые имеют более гладкое поведение, чем F{x,y). В основном эта операция сводятся к интерполяции производных функции Ф, которая оставляет инвариантными (точно интерполирует) полиномы некоторой стенени.

Пусть F (х, у) - непрерывная функция в области

ан<Хн<Ь, - оо < f/, < -f оо

при А-=1,(..., N. Степень аппроксимации но отношению к двум векторным переменным х ш у может быть различной (в действительности она может быть различной для каждой из 2iV пере.мен-ных) и она определяется двумя параметрами М н > 1. Сглаживающая функция Ф\г,(/{Р) определяется в меньпгей области

а?! = «А + д7 < •й < bk - JJ =

и предполагается, что 2/М <С а. Эта функн,ня определяется формулой

Фм.ч (F (ж, .г/)) = j ... f f ... j Km,q (x~l.y- 11) F (I, Ti) dld.

4<lh bu

(4.4.27)

Ядро (Гм,д (л;, у) берется так, чтобы

Km,q (ж, У) = МК (Л/ж) • QK {Qy),

где К (х) е С, и удовлетворяет условиям

Я(ж) = 0 при Jxft>l (4.4.28)

"г Г ь *д7 [ 1 ДЛЯ 2С; = 0

j ...f4.../(л)йж==- (4.4.29) сс 1 О ДЛЯ 0<2/ч <т,

где к, > О я т - фиксированные числа. Таким образом, функция Фм,<}{Е) зависит от т. которое выбирается так, чгобы удовлетворялись условия (4.4.13).

и получить