Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

Условие (i.4.28) иоказывает, чю Km,q равно нулю ири t2/fti> >!/(> и lftl > Следовательно, интервал интегрирования в (4.4.29) можно ограничить интервалом, содержащимся в < < lii < bk, так как < х < Отсюда функцию (4.4.27) можно записать через новые иеремеииые и. v, и.мсющие очевидный смысл, так:

Фм,я{Р(х, у))= \ ... \ 1" ... JA,,i(w. p)f y-~j-]dudo.

(4.4.30)

Наконец, условие (4.4.29) показывает, что полиномы P„i (ж, у) степени не выше т остаются инвариантными при операции сглаживания, т. е.

Фм,а(Р(ж, у)) = Рш{х. У).

Теиерь, если функция F (ж, у) непрерывна в кольце <: х <; <; то при < < легко проверить, что

\DlЩФм,Q{F)\CQ++M+ sup \F\ (4.4.31)

для всех целых pi, .. ., рк, qi, . . ., ?л-, а постоянная С зависит от ядра К (ж) и чисел р, gr. Аналогичным образом, если F (ж, у)С, то ири ak •< Xh <. справедливы неравенства

if~Фм,q{f)\CQ~"~ аГ" "supZ)2Z)5f I (4.4.32)

ири Pi -г ... + Qn = т, flft < < &ft.

Эти утверждения можно получить, если заметить, что из (4.4.27) следуют неравенства

\D%EfyФм,q{f)\<

< sup \F\\... {\D%DPyKM,Q{x-l.y-ri)\dldj]

< sup I f I • +Л/""- "" f ... j I DlK (X) I dx X

X J... fz):(i/)</i/,

которые п доказывают (4.4.31). Далее, мы разложим функцию F {х - и М, y-vlQ) в ряд Тейлора в окрестности точки u~v = = О до членов порядка, меньшего т, с какими-то остаточными членами. Так как Фм, сохраняет полиномы степени ниже т, то только остаточные члены этого ряда (- У, ) дадут вклад в разложение Фм q(F) = (/-Ф.и, q)f. Эти остаточные члены



Следовательно, из (4.4.30) мы получаем I (/-Фм.д) F {X, у) I <С sup •-Piv-"--iv др,

где /?1 + • • + + gi + . •. + = "г и

C=7V sup f ... fU?...WNV...i,i(M, c)dMdc, P.+...+giv="»

что и доказывает неравенства (4.4.32).

Замечание. Для а<.Хи<. h при pi + ...-\- Pn = т, qi = = ... = = О мы имеем

S*=\S (Фм.д (F {X, у))) I < 41 ОФм.с (F) о < СС F „,

и, выбирая <? >> 1/е, о = х + 1, отсюда, следовательно, получаем S* < CCQ+\F\o = CCQF\o (4.4.33)

и, аналогичным образом,

5*2 = I 5 (5 (Фм.д (F (ж, у)))) \ < СС<?2" I F „. (4.4.34)

Можно также показать, что функция К{х), обладаюгцая упомянутыми свойствами, действительно сугцествует (см. [26]).

Теперь мы переходим к рассмотрению итерационной процедуры Б процессе приведения отображения к линейному виду отображения кручения Мозера.

Лемма. Рассмотрим отображение

Л4=х. + .

I Ук = У к + Ч + fk (ж, у)

при \х - ak\ <. 1/Л/„ 1, удовлетворяющее уже упомянутът выше условиям

1/Ь+к1<бо. \D-h\ + \DgA<c,

14 г. Е. О. Джакалья

могут быть оценены с помогцью неравенств (pi -\- ... -\- = т) иЬ ... uJvP ...

I К sup



1 1 1

такое, что

i-ftli-kJi <-, (4.4.37) а отображение Т приводится к виду

ll = h + fk{bri), ц1 = г],-г:,~ур,а,у\), (4.4.38)

Ф/..1оК-йо<й = (4.4.39)

при lift - Kftl < l/Q, и, более того,

I DDIQ. I \ DriDpI, I < М""- (4.4.40)

при рх -{-...-{- р„ qx -{-... + = т.

Действительно, пз выписанных выше соотношений следует

Ik + (S, Ц) + и, (I*. Т1*) = 5ft + (I, Ц) + gk (I + и, ц+v), 4k-lk Ц-k (S- л) - ik (I*- Л*) =Цп + и, (I, ц) J- + (I, Ti) +

+ fk{l+U, ц + v}

4>k(l, л) + "ft (I*, Л*) = u„ (I, 1}) + gkll + u(l, г]), ii]-\-v{l, T])], (I, Л) + V, (Г. T]*) = V, (. Ti) a, (I, Л) + .f. [ +

-r«(, Л), Л + г, Л)]- (4.4.41)

Теперь линеаризуем уравнения, которые получаются из соотношений cpft = = О при условии, что величины Д, g, u, и 15), - ан\ имеют одинаковый порядок малости, т. е. являются величинами порядка 0{ц). Будем пренебрегать членами порядка, равного или большего, чем <?((х). В результате находим

(I, 11 - £0) - (1, л) = Wft (I, л) + fh il, Ц), Л+ «>) -«fe(l> л) =ёГй(1Л)- (•• >

Второе из этих уравнений можно решить в соответствии с предыдущей леммой, если только функция gh{%, л) имеет нулевое

и такое, что каждая замкнутая ограниченная регулярная поверхность, близкая поверхности х - const {к - 1, ..., Л), и ее образ и.чеют хотя бы одну общую точку. Тогда для достаточно малых бо существует преобразование

Хр=Ь. + щХ1. ц). у=ци + ь\{\.1\) (4.136)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 [67] 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0427
Яндекс.Метрика