Мп-1

при УСЛОВИИ

среднее относительно ц. В любом случае к функциям Д и надо применить операцию сглаживания для того, чтобы восполнить «потерю» необходимого количества производных.

Определим функции Vk как penienne системы уравнений

% (I, "Ч -г а) - Wfe (I, Kl) = Ф {gk - ~gp), (4.4.43)

Vk il, Ti + a) - Ife il, r\) = (I, Ti) Ф (/ft),

где = О, черта означает среднее по отнон1ению к т], а Ф - определенный ранее оператор сглаживания.

Усреднение второго из этих уравнений дает

йи + Ф ih) = о,

так что из первого уравнения находим

и, = S(Ф{g,)) + и. = S(Ф{g,)) - Ф (Л), (4.4.44)

где оператор S определяется формулой (4.4.22). Из второго уравнения (4.4.43) следует, что

v, = S{u, + Ф(h)) =S(S{Ф{g,))) +5(Ф (/,)). (4.4.45)

Уравнения (4.4.44) и (4.4.45) определяют функции щ, Vj, в кольце It 1 1 1

I Sfe - CCfe I <С = U.

Остается проверить только соотношения (4.4.37), (4.4.39) и (4.4.40).

а) Используя (4.4.33) и (4.4.34) и рассматривая (4,4.20), находим

\Щ\ + Ы <CxQ"ilhlo+lgKlo) <:C,Q8„-i = CiQM- (4.4.46) и аналогичным образом

Так как мы приняли v>2a--l, то \uk\ + \vh\ < i/QM и I 1 -\- \ vk\i < i/Q, что и совпадает с доказываемым выражением (4.4.37). Отсюда также следует, что и, определены в кольце

I Sfe - CCft К jTf---гг<

M QM M

где отображение (4.4.38) определено единственным образом.

б) Оценка величин фг,, [ф] в области - аг, < 1/М нуждается в предположении, что каждая замкнутая поверхность, близкая к инвариантному многообразию = const (/с = 1,.. .,N), т. е. к \k- Ifti имеет образ

tk=ll+K{V> л),

который пересекается с = й и, следовательно, это эквивалентно предположению о сущестБовании хотя бы одного нуля функции [Фй (1°, т))] относительно г\. Следовательно,

sup !ф*(§°, л) i < амплитуда ф", л) 2sup ф*(1°, r\)+Zk{%°)\,

л Г) Г)

где Zft(l)- соответствующим образом подобранные флнкцииот Мы будем брать

2,(1) = ~Ф(g,{l. Ц)).

Из (4.4.41) Ихмеем

4-1 л) 1« < I(I, л) - Ф {8п (I- л)) io =

= I (I, Т1) - (I*, Т1*) +g{l + u.цv)-Ф (g, (I ц)) I,,

а используя (4.4.43), (4.4.47), находим

-f! ФЛ1, л) 1о < CiQM- 1 I + I 1 (I + I г,, „) +

+ \Ф{gк {X, У)) Il (i и\о + \ vu Io) + \{Г~Ф) {gk {X. У)) Io.

й здесь выполнено неравенство (4.4.46). По теореме о неявной функции образ области *-а* < 3/Л/ при отображении (4.4.36) будет покрывать по крайней мере кольцо [а;-аг, < 2/Л/, и, следовательно, обратное преобразование определено (и притом единственным образом) б кольце Ixj,--а* <; 2/Л/, и б нем оно будет непрерывно дифференцируемым при достаточно большом М > Mq. Отсюда следует, что отображение (4.4.38) определено и дифференцируемо б кольце xj -а* <il/M, так как преобразование (4.4.36) переводит эту область в

1 fe - oSfe I < I - Kfe I - I Wfe I < 4- + a отображение (4.4.35) - в

14 - a J < I - I 4- 6„+i < -i- - -i + J < "

Аналогичным образом, вычитая первое уравнение (4.4.42) из второго уравнения (4.4.41), находим

XI т) о < C,Q"+M- \1к-<к\ + ЫЛ\Л+\ к 1о) +

+ I Ф (/fe У)) Il (I и\о + \ Vk 1о) + I - Ф) if к i, У)) 1о-

Складывая эти две последние оценки и рассматривая уже установленные условия

Ф(/й)1<СзМ/,о<, ФЫ1< вместе с предположениями (4.4.21), т. е. с неравенствами

, Tjsfi qi + ...-}- Qn + Pi + + Pn = т, находим

i 9fe io + I fe lo < C, {Q+M- 4- Qittn. (4.4.48) С другой стороны,

2a+l

при достаточно больших М и

2аЧ-1

= б0 + 3.

-3 - 25

Кроме того, так как Tn{q - 1) >> 1 + 2qv, то мы имеем

Из (4.4.48) тогда получаем

\fk io + lfe 1о<Л" = б,

что и доказывает неравенство (4.4.39).

в) Для доказательства последней части леммы введем величины

xf, = Mxu, lk = Mlu, ук = QUk, = Qr\k-

где нормы всех членов, зависягцих от х, у, определяются при условии, что эти функции определены в кольце

\1и - к\<.-КГ