у1 =yk + - + fk {х .у). /fe = .

(4.4.49)

Из (4.4.21) следует, что \Dl.Dl.Qh\ + \m.Dl.Mgk\<

<Qn-i

\ -V j

< 1.

С другой стороны,

\Qfk[ + \Mgk\KK~i

при хк -al <; i/Mn-i. Следовательно, функции fh п g определены для всех вещественных у и х пз области

, М

м

и ОНИ меньше единицы, так же как и их производные до порядка т. Из теоремы о среднем, примененной последовательно к каждой пз этих производных до этого порядка, следует, что

\fk{x.y)U\gk {x.y)U<C,,

где константа Съ зависит только от т. Следовательно, отображение Т из (4.4.49) таково, что справедливо неравенство

\xh gk\m\ykT хи Л fh \т<Сс,.

которое мы перепишем в виде \Т\т <.Сб.

Для преобразования переменных (4.4.36). записанного в виде

xh = Л- uhil, Tl), yh = 4k + Vh{V. Tl).

при J5i + ... -r PiV + gi + ... + дл- «S га -}- 2o мы аналогично находим

Тогда отображение (4.4.35) можно записать в виде

x*k = +gk(x. у), glMgk,

Теперь из теоремы о неявной функции следует существование обратного преобразования, все производные которого до порядка т ограничены константами, не зависящими от Q и М в кольце \xk - ak\ -< 2/М. Следовательно,

и отображение W-TW имеет в качестве компонент функции, производные которых до порядка т ограничены константой Cs, не зависящей от М ж Q. Следовательно,

при Pi + ... + J3jv + gi + ... + < m в кольце gs-aj < l/M при условии Q >• Cs, что и доказывает неравенство (4.4.40).

Теперь утверждение первой леммы настоящего параграфа сразу же получается пз только что доказанной леммы.

Действительно, определим

\х1=ХиА- gu(x. у), у1 =УиЛ-Хи-1к [х. у)

при <

Ъ, а также определим

Ук=Ук-г Хк-

Здесь \и\ + \ g\

бо для I Я - Т 1анн

бо. Вторая лемма уста-

навливает существование преобразования

Хк =5fe+ Wfe(, л)-Ук = 4k-Vk{l,

которое переводит 7*° в Г при = Hl fW,. откуда формально получаем ji 7" <; = g. Повторяя начатую процедуру приведения отображения Г", определенную в любом меньшем кольце, находим

(д = 1. 2. ...),

(4.4.50)

где Г - I < б , = б„. Если отнесенными к отображению Г", в кольце

\lK~<k\<jr

считать §, TJ координатами, то оно будет определено

(4.4.51)

Из второй леммы следует, что преобразование Wn координат шага номер п - 1 в координаты шага номер п удовлетвоояет неравенству

\Wn~Ih<:~ = -T, (4.4.52)

где / - тождественное преобразование. Следовательно, на торах Ik = ctft отображение Т" сходится к отображению Т°°, которое представляет собой «поворот» щ - Ци + а.

Связь между координатами , tj отображения Г" и координатами ж, у отображения Т°, как следует из (4.4.50), определяется соотношениями

Преобразование <?„ определено в кольце - а,, < 1/Л/„ и отображает его в меньшее кольцо - ац\ <С Если записать <S„ в виде

"I Уй = Лй+й(1, л).

то будет достаточно показать, что функции р, д" (и их производные) равномерно сходятся к функциям Pkl""]) и qhi""])- Если это так, то инвариантное многообразие из теоремы в начале настоящего параграфа (для специального случая а* = и 6 = 1) в точности равно

Ч=°к + Рк (л) Ук=Пк + 1к{ц)-

в этом легко убедиться, если сначала заметить, что

\pl\ + \Ql\<i\ut\ + M<:2h

a для достаточно больших последний ч.чен может быть сделан меньше е. Для доказательства сходимости производных от ри, Чк рассмотрим матрицу Якоби /„ преобразования W„. Так как

к , «й к "й