|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [69] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 у1 =yk + - + fk {х .у). /fe = . (4.4.49) Из (4.4.21) следует, что \Dl.Dl.Qh\ + \m.Dl.Mgk\< <Qn-i \ -V j < 1. С другой стороны, \Qfk[ + \Mgk\KK~i при хк -al <; i/Mn-i. Следовательно, функции fh п g определены для всех вещественных у и х пз области , М м и ОНИ меньше единицы, так же как и их производные до порядка т. Из теоремы о среднем, примененной последовательно к каждой пз этих производных до этого порядка, следует, что \fk{x.y)U\gk {x.y)U<C,, где константа Съ зависит только от т. Следовательно, отображение Т из (4.4.49) таково, что справедливо неравенство \xh gk\m\ykT хи Л fh \т<Сс,. которое мы перепишем в виде \Т\т <.Сб. Для преобразования переменных (4.4.36). записанного в виде xh = Л- uhil, Tl), yh = 4k + Vh{V. Tl). при J5i + ... -r PiV + gi + ... + дл- «S га -}- 2o мы аналогично находим Тогда отображение (4.4.35) можно записать в виде x*k = +gk(x. у), glMgk, Теперь из теоремы о неявной функции следует существование обратного преобразования, все производные которого до порядка т ограничены константами, не зависящими от Q и М в кольце \xk - ak\ -< 2/М. Следовательно, и отображение W-TW имеет в качестве компонент функции, производные которых до порядка т ограничены константой Cs, не зависящей от М ж Q. Следовательно, при Pi + ... + J3jv + gi + ... + < m в кольце gs-aj < l/M при условии Q >• Cs, что и доказывает неравенство (4.4.40). Теперь утверждение первой леммы настоящего параграфа сразу же получается пз только что доказанной леммы. Действительно, определим \х1=ХиА- gu(x. у), у1 =УиЛ-Хи-1к [х. у) при < Ъ, а также определим Ук=Ук-г Хк- Здесь \и\ + \ g\ бо для I Я - Т 1анн бо. Вторая лемма уста- навливает существование преобразования Хк =5fe+ Wfe(, л)-Ук = 4k-Vk{l, которое переводит 7*° в Г при = Hl fW,. откуда формально получаем ji 7" <; = g. Повторяя начатую процедуру приведения отображения Г", определенную в любом меньшем кольце, находим (д = 1. 2. ...), (4.4.50) где Г - I < б , = б„. Если отнесенными к отображению Г", в кольце \lK~<k\<jr считать §, TJ координатами, то оно будет определено (4.4.51) Из второй леммы следует, что преобразование Wn координат шага номер п - 1 в координаты шага номер п удовлетвоояет неравенству \Wn~Ih<:~ = -T, (4.4.52) где / - тождественное преобразование. Следовательно, на торах Ik = ctft отображение Т" сходится к отображению Т°°, которое представляет собой «поворот» щ - Ци + а. Связь между координатами , tj отображения Г" и координатами ж, у отображения Т°, как следует из (4.4.50), определяется соотношениями Преобразование <?„ определено в кольце - а,, < 1/Л/„ и отображает его в меньшее кольцо - ац\ <С Если записать <S„ в виде "I Уй = Лй+й(1, л). то будет достаточно показать, что функции р, д" (и их производные) равномерно сходятся к функциям Pkl""]) и qhi""])- Если это так, то инвариантное многообразие из теоремы в начале настоящего параграфа (для специального случая а* = и 6 = 1) в точности равно Ч=°к + Рк (л) Ук=Пк + 1к{ц)- в этом легко убедиться, если сначала заметить, что \pl\ + \Ql\<i\ut\ + M<:2h a для достаточно больших последний ч.чен может быть сделан меньше е. Для доказательства сходимости производных от ри, Чк рассмотрим матрицу Якоби /„ преобразования W„. Так как к , «й к "й 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 [69] 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0127 |
|