С помощью канонических преобразований, которые аналогичным образом выражаются через степенные ряды по параметру. Вообще говоря, о сходимости этих рядов известно очень мало, однако во многих прикладных задачах они оказываются неоценимо важными. В таких задачах сходимость проверяется с помощью точного численного интегрирования или с помощью наблюдений системы. Здесь, по-видимому, будет уместно повторить некоторые слова профессора Зигеля [64] о нормализации функций Гамильтона: «Возможно, что из-за наличия малых знаменателей в коэффициентах преобразования ряды в общем случае будут расходиться, однако до сих пор ни одного примера такого рода не найдено. Из хорошо известной теоремы Пуанкаре об аналитических интегралах канонических дифференциальных уравнений мы можем только заключить, что эти ряды не являются всегда сходящимися..., тогда как эта теорема не может быть применена к фиксированной функции Н». Позднее о некоторой специальной проблеме он сказал: «В частности, интересно решить, является ли функция Н регулярной или сингулярной (т. е. приводится ли она к нормальной форме сходящимися рядами) в этом специальном случае..., однако, по-видимому, этот вопрос не поддается решению известными методами анализа». Мозер [54] исследовал аналогичные вопросы, но, в сущности, не смог доказать ни одной новой теоремы о степени частоты встречающихся случаев регулярных гамильтонианов, а только повторил результаты Зигеля (см. [65] и § 6 г.11. IV).

4. Ряды Ли и преобразования Ли

То, о чем пойдет речь в этом параграфе, относится к следующему факту (доказательство приводится к тексте).

Пусть 5(г/. ж, е) и / (г/, ж, е) - функции, зависящие от ге-мер-ных векторов у (координаты) и х (канонически сопряженные импульсы) и от безразмерного параметра е. Предполагается, что S и / - действительные аналитические функции 2п-\- I переменной. Определим такой оператор

Aw/= {/> W) +-f-, (1.4.1)

где (/, W) - скобки Пуассона. Наконец, рассмотрим оператор

w/=2-(AW)e=o, (1.4.2)

A/ = AAVV (/г = 2, 3, ...).

= /(Л{т+б), (т + б)),

а в силу аналитичности f{y, х) имеем

у,-,т1,(т4-б), Xi = li{T + E) (/ = 1, 2,...,71) (1.4.8)

Тогда основной результат при сделанных предположениях заключается в том, что если ряды (1.4.2) сходятся, то преобразование

11]и = ЕжУн, l, = EwXu (1.4.3)

является полностью каноническим.Более того, произвольная ве-гцественная аналитическая функция g (у, ж) выражается через новые переменные г\, % по формуле

g{y{r], I, е), ж(т1, I, е)) = Egin, ). (1.4.4)

Теорема Ли ([45]). Впервые ряды Ли к методам теории возмущений применил Хори [34]. Он рассматривал операторы Dsf, определяемые формулами

£«8/ = /, £>!/ = (/, 5), DliDiDTf, (1.4.5)

где f, S ~ вещественные аналитические функции 2п канонически сопряженных переменных л, : Л = (Ль . •., т1„), =i (i, Теорему Ли Хори записал в следующем виде:

Теорема Ли. Набор 2п переменных у, х, определяемых уравнениями

f{y, )=2«/(л, I), (1-4.6)

будет каноническим, если ряды сходятся для достаточно малых е независимо от значений ц, .

Доказательство такой теоремы весьма просто. Введем каноническую систему дифференциальных уравнений

dT - д1/ dr - (7 - 1, , ..., п), (1.4.7)

где т - произвольный параметр, и пусть функции лДт), ,(т) будут единственным решением этой системы уравнений в области, в которой S - вещественная аналитическая функция. Тогда из (1.4.6) следует, что

ДЛЯ достаточно малых е. Так как величины (1.4.8) являются решением гамильтоновой системы (1.4.7), а отображение (1.4.8) - каноническое, то из этого следует, что переменные у, х будут каноническими.

Если задан «генератор 5», то, как следует из (1.4.6), преобразование будет иметь такой явный вид:

Кажущимся неудобством такой теории для приложений в методах теории возмущений является то, что функции f я S, как правило, должны быть представлены в виде степенных рядов по 8, а такая зависимость не учитывается в вышеприведенных формулах. Модифицированный подход к этому вопросу был предложен Депри [17]; позже различными авторами (см., например, [49]) была показана эквивалентность этого подхода и теории Хори. Эквивалентность обобщенной теории преобразований Гамильтона-Якоби и преобразований Ли, использовавшихся в работах Пуанкаре, Хори и Депри соответственно, будет показана в конце главы П. Здесь мы ограничимся изложением основных теорем преобразований Ли для случая, когда функции / и 5 зависят от 8. Основной целью является получение соотношений (1.4.3) и (1.4.4). Изложение проводится так же, как и в работе Депри [17].

Рассмотрим вещественные аналитические функции / и 5, зависящие от 2п канонически сопряженных переменных. Скобки Пуассона (/, S) можно записать в виде

где, как обычно, производная скалярной функции по вектору предполагается строчной матрицей. Можно определить 2ге-мер-ный вектор Z = (у, ж) и двумерный вектор (/, S) и записать матрицу Пуассона размерности 2X2

P,{f,S) = J,MJl (1.4.11)

где Jz=d{f, 5)752 -матрица размерности 2Х2ге а М -единичная симплектическая матрица размерности 2п X 2п, Тогда

Для нетривиального канонического преобразования z = 2(5) имеем

PMJ>= М,