Jn-I =

ди ди,

dl дц dv dv

dl дц

Максимальная абсолютная . величина этой матрицы, т. е. /„ -/], согласно (4.4.52), при luj], + \ Vk\i < l/Q определяется формулой

/п-/<.

Матрица Якоби G„ преобразования 5„ теперь, очевидно, будет равна произведению п матриц /i, ..., /„, т. е. G„ = /i... /„.

Также очевидно, что сходимость производных от р", Qu эквивалентна сходимости произведения G„. Но матрица /, мажорируется матрицей

П 1 ... 1\

1 1 ... 1

М 1 ... 1/

Следовательно, достаточно показать сходимость произведения

Это произведение, будучи коммутативным, меньше (или равно) произведения

оо °°

Д ехр = ехр

которое, очевидно, является сходящимся. Также имеем

G„ -/К

ехр I 2

<ехр

0

Выбором достаточно большого (?о можно сделать \G„ - 1\ << 8 и, следовательно, \lh\s <. 8 при s == 1, как и утверждает-

ся в теореме.

ТО отсюда следует, что

xl=Xf,4- (х, у), у1 =Ук + И + {х, у) определено прп х Ъ. Пусть

lh = CLh{x), ЧкУк- (4.4.53)

Тогда отображение принимает вид

Il --Ik + ghib Л),

lift = life + Eft +/fed Л),

так как преобразование (ж, у)-{\, ц) однозначно и имеет т ограниченных производных. Кроме того,

/ft(l, Т1)=П ((1), Л), (I, tl) = аж + G (ж, у)) - а, (ж) =

= а, (ж() + С(ж(),т1))-а, (ж ()).

п, следовательно, условия (4.4.17) и (4.4.18) удовлетворяются при соответствующем выборе постоянной Cq. Кольцо, в котором определено отображение Г, содержится в кольце пшриной С, т. е. а, (6) - а, (а) С при («) а, (&), что следует из (4.4.53).

Доказательство теоремы для s > 1 проводится аналогичным образом с помощью вывода новых соответствующих соотношений между параметрами М, Q, б, q, s, v, о, т (см., например, [26, 28]).

Важно отметить следующее.

I) Теорема Мозера эквивалентна (в смысле утверждений теорем) теореме Колмогорова, но не требует аналитичности гамильтониана (в случае аналитичности отображения Т). Требуется только существование производных до некоторого порядка. Это стало возможно в результате применения к соответствующим функциям операции сглаживания.

II) Появление малых делителей в рядах типа ехр [i (/а)]-1 контролируется оценками вида (4.4.23). Классические результаты в теории диофантовых приближений показывают, что при всех целых ik такой оценке не будет удовлетворять только множество значений, мера которого по сравнению с мерой единичного куба О •< < 1 (к = I, ..., п) равна 0(e) и стремится к нулю вме-

Для завершения доказательства теоремы осталось снять ограничение ан{х) =х,,. Для этого достаточно ввести замену неременных и опять доказать, что теорема следует из второй леммы настоящего параграфа. Действительно, пусть отображение

сте с 8. Возможные малые значения таких знаменателей компенсируются тем, что сходимость приближений к отображению Г~

имеет такую же скорость, что и у последовательности бо .

III) Условие невырожденности, фигурирующее в теореме Мозера, как уже упоминалось выше, совпадает с условием Арнольда п является менее жестким, чем условие Колмогорова ).

Действительно, так как

то условие (4.4.16) можно переписать в виде

I n \-n+1/2

что является обобщенным условием иррациональности Зигеля. Условие

после использования определения

И соотношении

(1, ..,, х„ 1, (Xj, ..., х„ х, h))

Jx дЩ

приводит к обобщению условия (4.3.11), т. е.

) См. примечание в конце параграфа {прим. перев.).

(4.4.54)