а из нее определим

ft= (fe = i. ...,р)

•= (/=р + 1, •..,«).

Следовательно, отображение будем записывать в виде xl = Xk + \j,Gu (ж, у) (А; = 1, ..., п),

yl = yk + \i[ak{x) + Fu{x,y)] + h {k=i,...,p), (4.5.1) у) = y + aj (ж) + [iFj{x, у) {j = p + l, п),

и оно определено в кольце О < «а < < Ь, - 1, где к = i, ..п. При этих условиях теорема Мозера будет оставаться справедливой, если ввести следующие модификации, а) Отображение (4.4.14) надо заменить на отображение

Уи =Уь+= Уй+№ (fc = l, ...,р),

Ук = у] + а; (а;") = у] -т (/ = р + 1, ..., п).

) В действительности условия Колмогорова и Арнольда - Мозера (4.4.54) не сводятся одно к другому. Ошибочность приведенного в тексте книги утверждения следует, например, из рассмотрения системы с гамильтонианом (Шз > 0)

Здесь определитель Колмогорова равен - (coi + а)2)ф О, а определитель (4.4.54) равен нулю (прим. ред.).

Также очевидно, что если Ф О (А; = 1, . .., ?г) и если обычно условие невырожденности, фигурирующее в теореме Колмогорова, выполнено, то и (4.4.54) выполнено). Обратное не всегда верно.

5. Вырожденные системы

Здесь мы ограничимся несколькими замечаниями, которые позволят доказать теорему, эквивалентную теореме Арнольда, в вырожденном случае.

Пусть ц - малый параметр, входящий в гамильтониан системы Я и О р, 1. Однако в общем случае р, много меньше единицы. Допустим также, что некоторые = О {к = \, ..., p<in). Как и в теореме Арнольда, определим «секулярную» часть Ни функции Hi, т. е.

Н= Ho + Vi{Hu + Hi,),

]V 1-]V-1/2

jie 2 I "1

где т», - произвольные, не обращающиеся одновременно в нуль целые числа.

6. Замечания

Проблемы нормализации гамильтоновой системы дифференциальных уравнений и сохраняющих меру отображений в окрестности положения равновесия или неподвижной точки соответственно аналогичны друг другу и имеют одинаковые трудности, приводящие в общем случае к расходимости асимптотических рядов, представляющих преобразование. Однако это не указывает на то, что нормальная форма не существует, а только в худшем случае на то, что такая форма не может быть получена с помощью степенных рядов. Основная идея, лежащая в основе нормализации Биркгофа в гамильтоновых системах, заключается в описании всех движений в окрестности положения равновесия с помощью естественного обобщения ляпуновской процедуры построения периодических движений в этой окрестности.

Основная теорема Биркгофа [5] утверждает, что если характеристические показатели (частоты нормальных колебаний в окрестности положения равновесия) рационально независимы, то в формальном смысле существует нормальная форма, и гамильтониан

и бо можно опять выбирать независимо от р,. Это очень важно, так как в противном случае при (.i О мы имели бы бо -> О и доказательство не годилось бы.

б) Отображение То (т. е. Т при Ц = 0) надо заменить на отображение

х1\--=Хи {fc = i, га),

yl = [iau{x) + yk-h {к = \,...,р), y* = aj{x) + y} {j = p + i, • п).

(«) < laft И < uaft (Ь).

в) Интервал, определяемый формулой (4.4.15), надо заменить

на интервал

аи (а) + е < < (&) - е,

н, наконец, условие (4.4.16) необходимо записать в виде

в соответствующих координатах у и импульсах х может быть записан в виде формального ряда (степенного) относительно i, ... ..., п, где tft = 4 + Ук- Как уже отмечалось выше, в этом случае ясно, что все становятся интегралами движения. В общем случае они являются только формальными интегралами, так как преобразование от исходной формы к нормальной форме описывается формальными рядами, вообще говоря, расходящимися.

В резонансных случаях, т. е. когда есть рациональная зависимость между частотами нормальных колебаний, ситуация не изменяется, и в общем случае нормальная форма, полученная Густав-соном [10], также расходится, на что также указывают его численные эксперименты, а также схожие эксперименты Хенона и Хейлеса [13]. Точные результаты о плотности множества гамильтонианов, для которых приведение к нормальной форме может быть осуществлено сходящимися рядами, были получены Зи-гелем [33].

Для систем с двумя степенями свободы тейлоровское разложение функции Н вблизи положения равновесия эллиптического тина имеет вид

= 2 TVft(l/I + 4) + 3(i/, ж)- ... +Н{у,х)-\- (4.6.1)

я„ = 2 cuixy =2222 CMiAlyH:,

k,l h, k2 h h

И из СХОДИМОСТИ разложения для Н соответствующей неренормировкой фазовых неременных и времени можно получить

с«<1. (4.6.2)

Пусть S - множество всех функций Н вида (4.6.1), удовлетворяющих условиям (4.6.2). Зигель показал, что гамильтонианы с иррациональными значениями vi/v2, для которых преобразование Биркгофа к нормальной форме расходится, плотны в S при топологии, определяемой выбором окрестностей, задаваемых неравенствами) Сй,г-Cfe,j <С 6,г для всех к,1 я для данных 6,/. Скорость уменьшения чисел et,/ с увеличением к, I произвольна.

Следовательно, для решения вопроса о сходимости или расходимости преобразования необходимо точно знать все коэффициенты функции Н, что придает процедуре приведения к нормальной форме очень небольшое физическое значение, так как параметры системы никогда не бывают известны абсолютно точно. Более строгий результат Зигеля [34] указывает, что случаи, при кото-