Ясно, что если отображение сохраняет площадь, и кривая Г окружает окружность /? = 1, то образ этой кривой Ме(Г) обязательно пересечет кривую Г в силу предположения о свойстве сохранения площади, так как он не может целиком лежать внутри или вне кривой Г при отображении М, достаточно близком к Mq.

Эту теорему легко можно применить для прямого доказательства теоремы Арнольда об устойчивости положений равновесия эллиптического тина в двумерных системах. Важное применение этой теоремы было также указано Кинером [20] в задаче о движении спутника сжатой планеты в поле с цилиндрической симметрией. Мозер [29] описал применение своей теоремы в задаче об адиабатических инвариантах в магнитных полях с замкнутыми медленно меняющимися магнитными поверхностями. За описанием этих приложений мы отсылаем читателя к упомянутым оригинальным работам.

С геометрической точки зрения теорема Колмогорова имеет один очень интересный аспект.

Действительно, рассмотрим гамильтониан Н{у, х, е), аналитический при е =, О и при xDd \1шу\<.р. Пусть, кроме того, Н{у + 2л, X, е) =H{y,i.x, е) и Н{у, ж, 0)=Яо(ж). Пусть точка х = Xq D, и определим величину

при е =, о и ж = ж. Предположим далее, что точка х может быть выбрана так, что при е =, О определитель det Их =5 0 и, более того, все Mft (А; = 1, ..., п) удовлетворяют обычным условиям иррациональности.

При сделанных предположениях теорема Колмогорова эквивалентна утверждению о существовании тагах аналитических вектор-функций и, р, что выражения

1/=0 + м(0), ж = С + р(0)

описывают инвариантный тор. Движение на торе определяется

формулой 0 ==.0), где 0 == (бь ..., б„).

Легко осуществить сведение описанной задачи к отображениям, сохраняющим меру. Действительно, рассматривая для простоты случай ?г = 2 и гамильтониан

Н =.Hq{xx, Xz) + eHiiyi, г/2, Xi, Х2, е),

положим Xl = г, г/1 =, б, г/г = т, Хг = х. Далее предположим, что дНо/дх2 =7 0. Исключая из уравнений движения время t и пере-

«2 дх, 1дх2 дг I дх 2л

так как переменную х можно исключить, если использовать интеграл энергии. Тогда отображенпе Мо определяется формулами

е* = ео + а(Го),

а при 8 =7 О имеем

е* = Эо + а(го) + 8ф(ео, Го, 8),

г* =Го+ 8l)(eo, Го, 8).

Теперь можно применить теорему Мозера о малых отображениях кручения, если соответствующим образом ограничить величину xi (здесь г) кольцом О < а Го Ь.

менную X с помощью интеграла движения, получаем

где, очевидно, функции F и G имеют период 2л по т. Более того, если через го, бо обозначить начальные условия, соответствующие при т = О заданному значению энергии, т. е. Я(бо, О, Го, х) =.h, то решение

е =. e(Go, Го, т, е), г = r{Qo, го, т, е)

при т = 2л отображает точку (бо, го) из плоскости т == О в точку (б, г) из плоскости т = 2л (эти плоскости перпендикулярны оси т в расширенном фазовом пространстве рассматриваемой сп-стемы). Следовательно, отображение

I б*==б(бо,Го, 2л, 8),

М г* =г(ео,Го, 2л, е)

сохраняет площадь, так как система (4.6.3) гамильтонова, и при 6 = 0 легко получить, что

[ e* = en + 2n-i-,

I = Го,

1/(0-/(0)1 <б.

Здесь мы положили I (t) = I {у (t), x{t), et), где y{t), x(t) - интегральные кривые системы, определяемой гамильтонианом Н.

Ясно, что любой интеграл является адиабатическим инвариантом, а в действительности даже вечным инвариантом. Наиболее типичным примером для систем с одной степенью свободы является следуюгций пример, рассматриваемый в квантовой механике.

Рассмотрим Н = Н{у,х,г). При т = const уравнение Н(У, X, т) =.Е(уо, Хо, т) = const в плоскости (у, х) описывает мгновенную конфигурацию линий энергетического уровня. Предположим, что при значениях г и. Е шз некоторой области эти линии образуют замкнутые траектории. В этом случае они заключены в некоторой области, площадь которой обозначим через 2л/(г/о, Хо, т), где (г/о, Хо) - любая точка соответствующей ограничивающей траектории. Тогда можно показать, что величина / является адиабатическим инвариантом в смысле, определенном выше. Например, рассмотрим простой маятник с медленно меня-

Понятие адиабатических инвариантов и их использование олень тесно связаны с обсуждаемыми сейчас методами теории возмущений. Это понятие очень интенсивно изучалось и хорошо описано в литературе; здесь мы хотим упомянуть некоторые из основных результатов. Ранней работой, которую следует назвать в связи с рассматриваемыми вопросами, является статья Андронова и др. [1], упомянутая Арнольдом. Очень хорошие работы выполнили Касуга [16] и Крускал [18]. Арнольд изучил часть рассматриваемой задачи в работе [2] и более подробно в работе [3] (глава II, стр. 111-124). Недавние работы, относящиеся в той или иной степени к нашему вопросу, выполнены Картсатосом [14], Вазовым [38] и Халламом [12].

Термин адиабатический имеет классический смысл (общий с термодинамическим смыслом), означающий очень медленное изменение параметров, определяющих физическую конфигурацию системы.

Рассмотрим динамическую систему с гамильтонианом

Н = Н{у,х,г),

где т = ei, а 8 - малый параметр. Мы имеем следующее определение.

Функция /(I/, ж,т) называется адиабатическим инвариантом рассматриваемой системы, если для любого б > О возможно найти такое Со > О, что при О < е < 8о для всех t из интервала О < i < 1/е выполняется неравенство