Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [74] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

S {у, 1,х)=фх (h, у, т) dy.

Последний интеграл вычисляется вдоль замкнутой траектории, определяемой условием h = Но (7, т), где функция h = Hq есть функция, обратная к функции

/(/1,т)= (x{h,y,T)dy,

ющейся длиной нити. Гамильтониан такой системы имеет вид

где м = (о(т) > О для всех т = Et. Тогда

= - = 2- + -Г>.

Хотя за конечное время величина I{t) может измениться мало, но за большие промежутки времени она может иметь большие изменения (даже секулярные). Тем не менее было получено такое утверждение (см. [3], глава II, § 2).

Теорема. Для медленно и периодически изменяющихся гамильтонианов Н{у, X, т) нелинейных колебательных систем с одной степенью свободы адиабатический инвариант сохраняется вечно, т. е. для любого б > О можно найти такое Ео(б) > О, что при е < €о неравенство /(f) -(*о) <б выполняется для всех t.

Этот важный факт является следствием нелинейности системы, т. е. следствием свойства зависимости частоты от амплитуды. Аналогичный результат не может быть получен для линейной системы с ее классической неустойчивостью при резонансе.

Для того чтобы показать строгую связь между адиабатическими инвариантами и формальными интегралами, получаемыми в асимптотических методах теории возмущений, рассмотрим систему с одной степенью свободы и гамильтонианом

Н{у, X, i) = Н{у, X, 1+ 2п), T=.et.

При т = const система автономна и интегрируется непосредственным образом. С помощью переменных действие - угол /, W, определяемых производящей функцией Гамильтона - Якоби S =, = S{y, I, т), мы имеем

X =. dS/dy, W = dS/dl,



W = W {I, т) =

До сих пор мы считали, что величина т является постоянной. Пусть теперь т изменяется со временем: т = et. Тогда приведенное описание движения является только приближенным (адиабатическим) в интервале времени t ~ 1/е. Однако в общем случае мы можем написать

Я(/, W, т) =Яо(/, т) -ЬеЯ:(/, W, т),

где в силу того, что преобразование (г/, х) -> (W, I) является каноническим, но зависящим явно от времени, имеем

Н,==Н,{1, W,t).

Последняя величина является однозначной функцией W ш т, зависящей от них 2я-периодическим образом. Классическая картина поведения траекторий в расширенном фазовом пространстве {у, X, т) - следующая. Отождествим точки с координатами т и т -1" 2я, а также W ж W -\- 2п. Уравнение / = const определяет двумерные торы с угловыми координатами i ж W. Если е = О, то фазовая точка движется вдоль линий т = const с угловой ско-

ростью W{I,t). При 8=70 имеет место медленное движение (х = et) по нормали к уже описанному. Оно происходит на торе, имеющем две частоты. Однако в адиабатическом приближении фазовая точка остается на инвариантном торе, определяемом условием / = const. Истинное движение близко к адиабатическому приближению при t 1/е. Если система является нелинейной, то адиабатическое приближение остается справедливым при всех t. В действительности это и утверждается в теореме Колмогорова. Средняя частота определяется формулой

«()-24-](-)-=

o=2J ff„(/,T)dt.

а x{h, у, т) определяется из уравнения Н(у, х, т) = h. Для современного и ясного определения операции введения переменных действие - угол мы предлагаем читателю книгу Мейровича [23] (глава 9).

Величина /, очевидно, является постоянной, а угол W иа окружности / = const изменяется равномерно:



Нелинейный характер движения определяется условием невырожденности

dl ~ dl

Из этого условия следует вечная адиабатическая инвариантность величины /, т. е. всегда можно найти инвариантные торы для системы, соответствующей переменной величине т, и они будут близки к торам / = const для достаточно малых е и любых моментов времени. Точнее, можно утверждать следующее.

1. Для любого б > О можно найти такое ео > О, что если е <С Во, то точка {уо, хо, т) лежит между двумя инвариантными торами Ti и Т2, где

ЩУи fi) - ЦУ2: Х2, тг) 1 < б

при условии, что (г/1, х ti) е Г;, (г/г, Xz, тг) Т2.

2. Рассмотрим такой гамильтониан

Я(/, W, т) = Яо(/, т) + еЯ,(/, W, т),

что дНй/д! Ф о, дНй/дРфО и Н аналитичен прп \1 - 1о\ <.р. Тогда для каждого б > О можно найти такое ео > О, что если le] <: Бо и \I{to) -/о -< р~°, то для всех t выполнено неравенство \I{t) -I(ta)\ <б.

С помощью леммы Арнольда (см. [3], стр. 116-118) о преобразовании гамильтониан приводится к виду

K{q, р, 6) = гКо{р) + eiiq, р, Q) + . . .,

где Q = W - новая независимая переменная, а q, по существу, совпадает с т. К этому гамильтониану можно применить теорему Колмогорова, из которой и следует, что I будет вечным инвариантом.

Адиабатическая инвариантность в системах с двумя степенями свободы также была исследована Арнольдом (см. [3],глава 2, § 3) и применена к классической задаче о магнитных ловушках. В результате доказано, что заряженные частицы (например, электроны), движущиеся по спиралям вокруг магнитных силовых линий, захватываются магнитным полем, если только оно медленно меняется или если скорости частиц малы. Основная лемма, рассмотренная Арнольдом для доказательства этого результата, заключается в следующем.

Лемма. Пусть данный адиабатический гамильтониан Н{у\, г/2, з), где у[ =гух, при фиксированных значениях г/1, х определяет колебательную систему с переменными действие Р {у\,х, h) и угол Q (г/i, г/2, 1, Хз). Тогда существует



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [74] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0188
Яндекс.Метрика