аналитическое преобразование переменных j/i, j/g, Xj, х в новые переменные у, W, Ру, Pw, обладающие такими свойствами.

а) Функции yl, 1/2, Xj, х имеют период 2я по W, и при

гО получаем у-Уи W-Q, Py-xi, Pw-P.

б) Вдоль решений системы с гамильтонианом Н справедливы следующие канонические уравнения с гамильтонианом Цу, Ру, W, h):

dPy а/ dy д!

dW ду aW~~ дРу

где h - параметр {константа интеграла энергии Н - h).

в) Величина I имеет вид I = -еРж, где функция

Р,у = h{Py, у, h) + e/i [Ру, y,W,h) + ...

является ана.штической функцией периода 2л по W, а Го{Ру, У, h) = P{y,Py, h).

Из проведенного ранее рассмотрения одномерных систем следует, что Р и гх1 будут вечными инвариантами. Различные способы приведения к гамильтониану рассмотренного вида, который в пределе становится адиабатическим инвариантом, могут быть осуществлены с помощью методов теории возмущений в нелинейных системах.

Контопулос [6] применил методы теории возмущений к построению третьего интеграла (который строится последовательными приближениями с учетом выполнения условий обращения в нуль скобок Пуассона) и к нахождению адиабатического инварианта в системе

Ук = Н, х - Ну

с гамильтонианом

Я = 1 (xf + х + (й\у1 + (ог/) - гугу1 sin at = Я„ -f гН.

Эта работа, помимо очень интересных аналитических построений, содержит также численную проверку результатов. Основной вывод работы: если нет резонанса между частотами wi, (02, то оба метода дают одинаково хорошие результаты. Тем не менее, если числа (01 и (02 почти соизмеримы, то адиабатический инвариант очень быстро (по времени) вырождается и в случае точной соизмеримости пропадает. С другой стороны, в этом же случае соответствующим образом модифицированный третий интеграл можно

найти, так что он будет оставаться интегралом в очень высоком приближении (по времени). Как говорит Контопулос, несправедливость свойства адиабатической инвариантности при резонансе была известна еще по очень давним работам, на которые в работе [37] ссылается Зоммерфельд, однако в современной литературе этот факт упомипается редко.

Мы закончим этот раздел напоминанием, что в настоящей главе почти не говорилось о теории существования инвариантных многообразий возмущенных систем, которая построена в работах Левинсопа [21], Дилиберто [8, 9], Кинера [19] и Лоуда [22]. Однако отличное описание результатов этих работ можно найти в замечательной работе Хейла [11]. Основная идея заключается в рассмотрении автономной системы

ж=/(ж), х = {х,, ...,Хп)

с периодическим регпением

x = Po{t)=Po{t+To).

В тг-мерном пространстве (ж, 0) цилиндр ж = (0) является инвариантной поверхностью, т. е. каждое решение, принадлежащее цилиндру в какой-то момент времени, будет оставаться на нем все время.

Рассмотрим возмущенную систему

x=f{x) + Eg (ж, t, е),

где g{x, t, е) ~g{x, t+T, г). Можно показать, что если /(ж) и g (ж, е) принадлежат по крайней мере классу С, то при достаточно малых е в пространстве (ж, t) существует поверхность ж = /> (i, 0, е) е С, лежащая вблизи цилиндра х= (0) и являющаяся инвариантной поверхностью возмущенной системы. Также справедливо утверждение, что функция р (t, 9, е) имеет период Т по to и.период Го по 0, а /> {t, 0, 0) = р (0).

Распространение этих результатов па случай условно-периодических (по t) функций g{x, t, е) было осуществлено Хейлом [И]. Результат будет аналогичным, с тем только замечанием, что функция p{t, 0, е) также условно периодична по t. Плисе [30]) получил условие существования инвариантных многообразий, которое не зависит от понятия возмущения, т. е. для систем вида

x=X{x,y,t), y=Y{x,y,t),

где ж, у - векторы размерности п. Основное предположение: X, ГеСв некоторой области {ж еЯ", tR, jyWK} и X,Y

) См. также книгу [29*] (прим. перев.).

имеют период Т по t. При доказательстве используется сведение задачи к исследованию сжимающих отображений, а затем к доказательству существования неподвижной точки. Аналогичный способ исследования интенсивно использовался Картсатосом в работе [15]. В этой работе можно найти много относящихся к рассматриваемому вопросу литературных ссылок, но ее обсуждение здесь проводиться не будет.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андронов А. А. и др. К теории адиабатических инвариантов.-Ж. Русск. хим. общ., 1928, т. 60, стр. 413-457.

2. Арнольд В. И. О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона.-ДАН СССР, 1962, т. 142, № 4, стр. 758-761.

3. Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике.-УМН, 1963, т. 18, Л» 6, стр. 91192.

4. Birkhoff G. D. Surface transformations and their dynamical applications.- Acta Math., 1922, vol. 43, p. 1-119.

5. Биркгоф Дж. Д. Динамические системы.- М.- Л.: Гостехиздат, 1941.

6. Gontopoulos G. Adiabatic invariants and the third integral.- J. Math. Phys.. 1966, vol. 7, № 5. p. 788-797.

7. Danby J. M. A. Wild dynamical systems.- В kH.:Periodic Orbits, Stability and Besonances /Ed. G. E. 0. Giacaglia.- Dordrecht, Holland: Reidel Pub. Co., 1970.

8. Diliberto S. P. An application of periodic surfaces. Solution of a small divisor problem. Contrib. to the theory of nonlinear oscill., vol. 3.- Ann. of Math. Studies, 1956, vol. 36, p. 257-261.

9. D i 1 i b e r 10 S. P., H u f f о r d G. Perturbation theorems for nonlinear ordinary differential equations.-Ann. of Math. Studies, 1956, vol. 36, p. 207-237.

10. G u s t a V s 0 n P. A. On constructing formal integral of a hamiltonian svstem near an equilibrium point.- Astron, J., 1966, vol. 71, № 8, p. 670- 686.

11. Hale J. K. Integral manifolds of perturbed differential equations.- Ann. Math., 19Ш, vol. 73, № 3, p. 496-531.

12. H a 11 a m T. G. Convergence of solutions of perturbed nonlinear differential equations.-Ann. Math. Pure Appl., 1972.

13. H ё n 0 n M., H e i 1 e s C. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments.- Astron. J., 1964, vol. 69, № 1, p. 73-79.

14. К a r t s a 10 s A. G. On the maintenance of oscillations of the n-th order equations under the effect of small forcing term.- J. Diff. Eq., 1971, vol. 10, p. 355-363.

15. К a r t s a 10 s A. G. On the relationship between a nonlinear system and its nonlinear perturbation. (Preprint from Dept. of Math., Univ. of South Florida, Tampa, Fla., 1972).

16. К a s u g a T. On the adiabatic theorem for the hamiltonian system of differential equations in celestial mechanics.- Proc. Japan Acad., 1961, vol. 37, p. 366-382.

17. К 0 л M 0 г 0 p 0 в A. H, 0 сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона.-ДАН СССР, 1953, т. 98, № 4, стр. 527-530.

18. К г U S к а 1 М. Adiabatic invariants.- Princeton, Princeton Univ. Press, 1961.

19. К у n e r W. T. Small periodic perturbations of an autonomous system of vector equations.- Ann. of Math. Studies, 1958, vol. 41, p. 111-125.