20 Kyner W. Т. Rigorous and formal stability of orbits about an oblate planet - Mem. Amer. Math. Soc, 1968, vol. 81. p. 1-27.

21. Levin son N. Small periodic perturbations of an autonomous system, with a stable orbit.- Ann. Math., 1950, vol. 52, № 3, p. 727-738.

22. L 0 u d W. S. Periodic solutions of a perturbed autonomous system.- Ann. Math , 1959, vol. 70, № 3, p. 490-529.

23. Meirovitch L. Methods of analvtical dynamics.-New York, McGraw-Hill, 1970.

24. M 0 s e r J. Nonexistence of integrals for canonical systems of differential equations.- Comm. Pure Appl. Math., 1955, vol. 8, p. 409-436.

25 M 0 s e r J. On the integrability of area-preserving cremona mappings near an elliptic fixed point.- Bol. Soc. Mat. Mexicana, 1961, p. 176-180.

26. M 0 3 e p Ю. О кривых, инвариантных при отображениях кольца, сохраняющих площадь.-Математика, 1962, т. 6, № 5, стр. 51-67.

27. М о S е г J. Hamiltonian systems.- Lecture notes. New York Univ., 1964.

28. Moser J. On the theory of quasi-periodic motions.-SI AM Rev., 1966, vol. 8, № 2, p. 145-172.

29. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах.-М.: Мир, 1973.

30. П л и с с В. А. К теории инвариантных поверхностей.-Диф. vpaBHeHHH, 1966, т. 2, № 9, стр. 1139-1150.

31. Пуанкаре А. Об одной геометрической теореме. Избр. тр.. 2.- М.: Наука, 1972.

32. R й S m а п п Н. Uber das verhalten analytischer hamiltonscher differen-tialgleichungen in der nahe einer gleichgewichtslosung.-Math. Annalen, 1964, b. 154, s. 285-300.

33. Зигель К. Л. Об интегралах канонических систем.-Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 103-117.

34 Зигель К. Л. О существовании нормальной формы аналитических дифференциальных уравнений Гамильтона в окрестности положения равновесия.- Математика, 1961, т. 5, № 2, стр. 129-156.

35 3 и г е л ь К. Л. Лекции по небесной механике.-М.: ИЛ, 1959.

36. S i е g е 1 С. L., М о s е г J. К. Lectures on celestial mechanics.- New York, Springer-Verlag, 1971.

37. S 0 m m e r f e 1 d A. Atombau und spektrallinien. vol. 1, 7-th ed., p. 370, p. 698, Braunschweig, Vieweg, 1951.

38 W a s 0 w W. Adiabatic invariance of a simple oscillator.- Not. Am. Math. Soc, 1971, vol. 18, No. 7 (Abstract).

39 У и T T e к e p E. Аналитическая динамика.-М.: ОНТИ, 1937.

ГЛАВА V РЕЗОНАНСЫ

1. Введение

Ранний вариант описания проблемы, с которой мы сейчас будем иметь депо, можно найти в работах Бохлина [13] (см. также [68]), в монографии Цейпеля [76] по теории движения астероидов и в работе Уиттекера [75] о задаче поиска решений в виде рядов и о задаче поиска дополнительных интегралов. Все эти работы прямо или косвенно связаны с задачами небесной механики. Первыми, кто изучали эту проблему в теории линейных и нелинейных колебаний, были Ляпунов [55], Крылов [51], Боголюбов [И] и Митронопьский [58]. В современной литературе, т. е. после середины нашего столетия, имеется очень много работ о ре-зонансах, в которых содержатся обобщения старых и вводится много новых разнообразных определений и подходов к проблеме.

Хотя рассматриваемое понятие резонанса является объектом всеобщего изучения, его надлежащее определение сегодня зависит от частной задачи, исследуемой автором, и от области его научных интересов. Мы не будем отступать от этой «традиции», хотя и попытаемся поставить проблему в достаточно общих терминах, применения которых настолько широки, насколько только возможно.

Физическое предположение заключается в том, что нам дана система дифференциальных уравнений, описывающая поведение некоторого механизма, или электрического, или механического. Механизм является осциллятором в том смысле, что он может быть описан с помощью вполне определенного набора переменных действие и угол. В общем случае угловые переменные изменяются со временем с рационально независимыми частотами, а случай рациональной зависимости является исключительным, хотя и вполне возможным случаем. Следовательно, мы предполагаем, что осциллятор имеет дискретный спектр частот и что он ограничен некоторой полосой. Это основное предположение.

Типичные проблемы, которыми мы будем интересоваться, связаны с изучением поведения осциллятора при введении малых изменений его структуры и (или) под действием внешних но отношению к системе факторов (или возмущений). Такие изменения и возмущения вызывают эффекты, коренным образом связан-

ные с частотами осциллятора. Если движеиие осциллятора является резоиаисиым (периодическое решеиие), т. е. существует по крайней мере одна обращающаяся в нуль лииейная целочисленная комбинация частот, то каков же будет эффект малых возмущений (внутренних или внешних) в системе? Или каково будет результирующее движение, если внешнее воздействие также оказывает осциллятор, частоты которого рациональио связаны с частотами системы? В классической постановке гармонический (линейный) осциллятор, который подвергается воздействию внешних сил, находящихся в резонансе с осциллятором, будет увеличивать свою амплитуду безгранично. Однако в естественно-технических задачах это невозможно, так как не существует ни чисто линей-ных систем, ни диссипативных сил, которыми можно полностью пренебречь, а система распадется, когда амплитуда колебаний достигнет значения, достаточного для разрушения системы.

Частота линейного осциллятора не зависит от амплитуды, а при точном резонансе величина амплитуды стремится к бесконечности. Для нелинейного осциллятора частота зависит от соответствующей амплитуды (или наоборот), так что при изменении амплитуды в осцилляторе перестает выполняться условие резонансности частот. Тем не менее, если два нелинейных осциллятора находятся в резонансе, то общим явлением становится такое, когда резонансная система стационарна с ограниченными амплитудами и фиксированными резонансами. Осцилляторы «захватываются в резонанс». Такая конфигурация в общем случае является устойчивой, в том смысле, что малые изменения в системе приводят к малым колебаниям около стационарной конфигурации. Асимптотическая устойчивость может оказаться только при наличии диссипативных сил, но не в консервативных системах.

Типичной задачей, иллюстрирующей проблему резонанса, особенно для читателей, работающих в области небесной механики, является задача о движении простого маятника. Эта задача была подробно исследована Брауном [14] и недавно еще более детальным образом Кинером [52]. Здесь мы не будем еще раз описывать этот пример, а лучше подойдем к проблеме с более общей точки зрения.

В любом случае крайне важно понять, что поведение системы под действием возмущений и при выполнении условий резонансности можно только тогда изучить до конца, когда известны все особые точки соответствующей системы дифференциальных уравнений и их характеристики досконально исследованы. Для систем с одной степенью свободы в общем случае это простая задача, п классификация особых точек хорошо известна. Такая классификация была обобщена на случай систем с двумя степенями свободы [66], но ее геометрическая интерпретация практически невозможна. Более того, большее число геометрических теорий, пригод-