) О структурной устойчивости см. [50*] (прим. перев.).

ных для систем с одной степенью свободы (например, теорема Биркгофа о неподвижной точке, теорема Бендиксона - Пуанкаре, теория предельных циклов и аналогичные геометрические проблемы), нельзя обобщить на случай систем с двумя и более числом степеней свободы.

Большинство результатов, относящихся к проблеме резонансов в нелинейных системах и рассматривающихся здесь, являются описательными, за исключением только нескольких случаев. В большинстве случаев окончательный ответ приводится в виде уравнения Бохлина, к которому мы приходим применением принципа, известного главным образом под названием принципа минимума энергии или принципа сохранения устойчивых стационарных решений. В чисто историческом плане мы хотим упомянуть интересную статью Бакера [7], встретившегося с проблемой резонансов (мапых делителей) в задачах небесной механики п давшего очень интересное описание поведения системы в типичной резонансной ситуации. Из этой работы можно почерпнуть много физических и математических рекомендаций. Сегодня за решение рассматриваемых вопросов берутся много авторов. Такое исследование, остающееся сегодня одним из лучших, было проведено Арнольдом [5]. Рассматриваемая проблема не может быть отделена от вопроса о структурной устойчивости, однако даже для систем с двумя степенями свободы результаты в этой области остаются скудными (см., например, [67]). Один известный результат пропивает некоторый свет на теорию возмущений: гамильтоиовы системы (не зависящие от времени) могут быть аппроксимированы структурно устойчивыми системами. Другими словами, для данной консервативной системы можно найти «очень близкую» (в смысле С), которая будет структурно устойчивой). В этой связи мы еще раз упомянем возможные следствия того факта, что любую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, приводимую к нормальной форме, можно записать в гамильтоновой форме (глава II, § 4). По нашему мнению, такую возможность надо использовать во всех случаях, чтобы воспользоваться специальными свойствами гамильтоновых систем, а особенно в связи со свойствами соответствующих инвариантных многообразий.

2. Движение в окрестности положения равновесия

В этом параграфе мы кратко опишем постановку задачи о движении в окрестности положения равновесия, ее решение с помощью формальных рядов и подход к полному решению, который необходим в спучае, когда частоты нормальных колебаний линейно независимы на множестве целых чисел (глава III, § 4).

) Из невырожденности матрицы дН/дудх в положении равновесия в общем случае не следует, что эта точка является максимумом или минимумом гамильтониана. Это утверждение справед.тиво только в одномерном случае. Например, в двухчастотной системе с гамильтонианом ((0i>(02>0)

Я = Y % (а;? + г/?) -т «2 [4 + yl)

упомянутая матрица невырождена, а тривиальное положение равновесия является лишь седловой точкой. В действительности замечание автора об экстремальных свойствах гамильтониана ниже никак не используется, а для приводимости системы к виду, отвечающему в линейном приближении независимым осцилляторам, необходимо и достаточно, чтобы матрица dHjdydx была невырожденной и чтобы кратным собственным значениям этой матрицы соответствовали простые элементарные делители {прим. перев.).

Пусть гамильтониан Н{у,х) аналитичен в некоторой области D фазового пространства, и соответствующие уравнения движения имеют вид

у=Н1, х = --Н;, (5.2.1)

где X, у - векторы размерности п. Допустим также существование такого изолированного стационарного решениям", г/" в D, т.е.

Но = Ну, = О, (5.2.2)

для которого матрица dHjdydx не является особенной при X 1/=?/".Отсюда, разумеется, следует, что такая точка явля-

ется максимумом или минимумом для функции Н, т. е. квадратичная часть тейлоровского разложения функции Н в окрестности этой точки может быть приведена к нормальной форме или, что то же самое, соответствующие уравнения отвечают п независимым осцилляторам). Мы будем считать, что точка (ж", у) является точкой минимума, так что вышеупомянутую редукцию можно осуществить с помощью вещественного преобразования. В соответствии с этим, если дано б>0, то можно найти такое 8>0, что при

1 Жо - ж" I < 8, I - I < е,

где (Жд, Уо) е D, для всех моментов времени имеем 1Ж-Ж0К6, \У-У\<Ь,

где ж, у -решение уравнений (5.2.1), соответствующее начальным условиям Жо, 1/о- Следовательно, определим 5 = у - i/" и р= = ж - ж", так что можно считать р, q ограниченными для всех моментов времени. Принимая 5,/)за новые переменные, раскладывая функцию Н{у-{- q, х-{-р) в ряд Тейлора и отбрасывая посто-

так что функции Гамильтона Ei соответствует п независимых гармонических осцилляторов, описывающих ограниченное движение вблизи положения равновесия, когда амплитуда колебаний стремится к нулю. Применяя преобразование (?,/>)-(П> I) ко всему гамильтониану, находим

Я = 1 (tit, + rz?2)-Ь Яз-Ь Я,-ь ...,

где Я - однородные полиномы степени к относительно компонент векторов Г], \.

) Все выкладки этого и следующего параграфа годятся не только для случая определенно положительной функции Hi. Достаточно только потребовать устойчивости в линейном приближении. Точнее (если не рассматривать случай простых элементарных делителей при равных частотах (Oj) в (5.2.9) и ниже числа (о,- не обязательно считать положительными, а лишь не равными друг другу или нулю {прим. перев.).

янную часть, в силу сделанных предположений получим

Я = Яг + Яз + ..., (5.2.3)

где Яй(5,/))-однородйые полиномы степени к относительно компонент векторов q, р. Ряд (5.2.3) является абсолютно сходящимся. В частности, мы имеем

H.qAq-qBp-pCp, (5.2.4)

где А = А, С =.С, а, очевидно, - по предположению положительно определенная квадратичная форма, приводимая линейным симплектическим вещественным преобразованием к нормальной форме

Н2 = Ы\ + ГО%). (5.2.5)

Здесь = diag(a)i,... ,ю), а со (/ = 1, ..., п) - собственные числа задачи). Якобиан / линейного преобразования (д, р) ->(ii, ), т. е.

а и, I)

соответствует постоянной, вещественной и симплектической матрице [73]. Соотношение (5.2.5) можно переписать в виде