2. ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ 241

Уравнения движения можно записать в виде

Л=Я=/) + Ф(,т,), 526)

где Ф и - ряды из однородных полиномов относительно компонент векторов ц, I, минимальная степень которых равна двум. Также ясно, что если записать Н = Н2 -\- Hz -\- -\- ..то для всех t каждый полином ограничен величиной порядка 0(6"). Аналогичное утверждение верно и для рядов Ф и Ч*" и, очевидно, уравнения (5.2.6) имеют единственное решение в области D. Введем теперь каноническое преобразование

(5.2.7)

"fe bfe

COS Уи,

(5.2.8)

rife =l/23;feCuft sin

Отсюда следует, что так как %, ограничены некоторой величиной порядка 0(6), а все (А; = 1, ..., п) положительны и конечны, то \х\ будут ограничены величиной порядка О(б), а < л/2). Следовательно, значение yi, полностью определяется из (5.2.7) значением тангенса.

После применения выписанного выше преобразования гамильтониан принимает вид (см. [75])

Н = сй1Ж,-Ь ... -f СОЛ -f Яз -f Я4 -f ..., (5.2.9)

где имеют конечное число членов, соответствуюгцих тригонометрическому полиному максимальной степени к относительно у, т. е.

Я, = 2 2 Г-V ... Г" ехр [i {v,y, + ...+ v„j/J], (5.2.10)

) В действительности из (5.2.8) видно, что необходимо считать -жСукп {прим. перев.).

) Подробное описание свойств полиномов и рядов Пуассона, обладающих характеристиками Даламбера, см. в работе [30*] (прим. перев.).

mi+ ...+?п„ =уА;, (5.2.11)

lv,<2m,, v, +...+

Соотношения (5.2.11) называются характеристиками Даламбера функции Н„ (или Я)). Все тп - положительные полуцелые числа, а все - целые числа. Так как х„ = 0{д), то Hk = 0(8), к =,3, 4, ... Интегрирование системы уравнений, определяемой гамильтонианом (5.2.9), теперь сводится к нахождению возмущений решения

%=4 = const, Ук="к* + У1 (5.2.1)

соответствующего гамильтониану Я = Яг = coiXi 4" • • + м„ж„.

Действительно, соотношения (5.2.12) описывают бесконечно малые колебания в окрестности устойчивого положения равновесия (ж", у"), которое в новых переменных соответствует точке х = у = 0.

С самого начала ясно, что гамильтониан Я является вырожденным, в том смысле, что матрица {dHz/dxtdxi} - особенная. С другой стороны, функция Яз не может содержать секулярных членов (членов, не зависяпщх от переменных г/,), так как она является нечетной функцией вектора у и имеет период 2л по каждой компоненте этого вектора. Также очень важно напомнить, что каждая функция Н„ состоит из конечного числа членов (при конечном к). Число таких членов увеличивается с увеличением к в соответствии с условиями (5.2.11).

Форма Яг такова, что никакая теорема, обсуждаемая в главе III книги, к ней неприменима. Тем не менее мы можем показать, что в любом случае существуют формальные ряды, нормализующие функцию Я, т. е. приводящие ее к виду Н =К{Х, 0), где все угловые переменные отсутствуют. В действительности будет показано, что существует преобразование, определяемое конечным числом тригонометрических полиномов такого же вида, что и вид Я, такое, что вышеупомянутая нормализация может быть достигнута с любой степенью точности, хотя в пределе это и может привести к расходяпщмся рядам. В различных задачах такая редукция была проведена Депри и др. [30.2, 31.2], где использовались ряды Ли. Здесь мы будем использовать подход типа подхода Цейпеля, который в действительности, как говорилось в главе II, является эквивалентным вышеупомянутому подходу Депри.

) Это не совсем верное утверждение, так как полная система может быть устойчивой и в случае нулевых чисел о, т. е. если линейная система неустойчива. См., например, [31*] (прим. ред.).

3. Решение с помощью формальных рядов

Сначала рассмотрим случай, когда coi, ..., сй„ линейно независимы на множестве целых чисел, т. е. условие

/iCui + ...-f/„сй„ = 0 (5.3.1)

удовлетворяется тогда и только тогда, когда все целые числа /1, ..., /„ равны нулю. Из этого, в частности, следует, что ни одна из со не может быть нулевой или, другими словами, все переменные присутствуют в гамильтониане. Однако это является прямым следствием предположения об устойчивости положения равновесия ).

Процедуру Цейпеля нельзя применить непосредственно без некоторых предварительных рассуждений и аккуратного определе-нпя понятия «порядка члена». Действительно, гамильтониан имеет вид

Я= i С0Л + 3+Я,+ (5.3.2)

где Hp = 0(6*), как следствие того, что степень полинома Hp, выраженного через Х], ..., х„, равна р/2, а Xj = О (62). Отсюда следует, что дифференцирование по переменным х понижает порядок члена на две единицы, так что, например, полином

дН {х,у)

имеет порядок 0(б~2*). Тем не менее в уравнениях, получающихся из обобщенного уравнения Гамильтона - Якоби, мы никогда не будем иметь членов отрицательного порядка по б.

Производящая функция канонического преобразования (ж, у)-> ->(X, У)

5 = Xl, + 5з{X, у) + S{X,y) + ... (5.3.3)

выбирается так, чтобы

Хи-=8у = Хи + 8гуи+8у + (5.3.4)

а нормализованный гамильтониан имеет вид

Я (ЛГ) = 2 щХи + к, (Х) +К,{Х) + ... (5.3.5)