J., + 2i + ffAX,u) = KAX), (5.3.7)

ft ft ft »ft

dSs , ЭЯз (ДГ, у) dSj

+ yZZ ехах 1 + 2.-х-+ЛХ.)-

= К,{Х). (5.3.8)

В нерезонансном случае формальное решение вообще не представляет никаких затруднений. Действительно, так как

Яр (X, г/) = 2 Af{X) ехр i (vfj/i + ... + v?j/„), (5.3.9)

где = (vf, ..., v), a Af (X)- однородные полиномы степени pJ2 относительно Xi, ..., X„, то отсюда, например, следует

K,{X)=At{X),

-3 = 2 < (Х) [i + ...+ vco J]- X

Xexpi(v?(/i-f ... + F,{X,0), (5.3.10)

где /з(Х, 0)-произвольная функция, зависящая только от X. Ее можно положить равной нулю. Это не повлияет на приближения более высоких порядков, так как во всех уравнениях функции з, 4, ... встречаются только в виде своих частных производных по переменным у. Уравнения для приближения любого порядка имеют одинаковый вид и решаются аналогично.

Теперь рассмотрим случай, когда имеется один (и только один) набор целых (несократимых одновременно) чисел /ь ..., /„, не обращающихся одновременно в нуль и таких, что выполнено условие (5.3.1). В этом случае может оказаться, что некоторые делители, встречающиеся в (5.3.10), равны нулю, т. е. некоторый набор чисел (vf, .. .,v) кратен набору (/ь /„). Это обязательно должно случиться лишь с конечным числом .членов какого-то при-

На этом этапе все ряды считаются чисто формальными, за исключением ряда (5.3.2), который является равномерно сходящимся.

После подстановки (5.3.4) в (5.3.2) и разложения в ряд Тейлора первые несколько приближений будут определяться уравнениями

=. + Яз(Х,) = Хз(Х), (5.3.6)

S?(X) = -?(Z){2/fe

ах,,

блжженжя, так как функция Hp имеет конечное число членов при конечном р. Тем не менее ясно, что при увеличении р рассматриваемые знаменатели могут стать сколь угодно малыми. Для рационально независимых чисел со сходимости можно добиться введением нижней границы соответствующих резонансных соотношений, как это уже рассматривалось в главах III и IV. Действительно, Уиттекер [75] упоминает пример, в котором ряды

т - па

и=1 1

при IqiI <: 1, д2 < 1 и а иррациональном в действительности являются сходящимися. Для рационально зависимых чисел м рано или поздно должен появиться нулевой делитель и, следовательно, в том виде, в каком он использовался раньше, описанный способ нормализации применить нельзя.

В том случае, когда в функции Нз нет таких членов vfy, -f . .. •. • + VnUn, то Vicoi -f ... + v„tt)„ = 0, все угловые переменные по-прежнему можно исключить, если только заметить, что функцию 8з можно записать в виде (5.3.10), где произвольная фунтщжя Рз может теперь зависеть и от критической комбинации (аргумента) jiyi -f .. . -f- иуп, т. е.

з = з(Х,М1+ ... +/„г/„). (5.3.11)

Как легко проверить, произвольная функция, зависящая от такого критического аргумента, не даст никакого вклада в уравнение (5.3.6). Теперь уже произвольную функцию можно использовать для уничтожения любого члена, содержащего критический аргумент (или кратный ему аргумент) в следующих приближениях. Важная роль, выполняемая здесь следуюгцими членами по отношению к квадратичной форме в преобразовании, которое рассматривается в теореме Биркгофа о неподвижной точке, также проявляется и в функции Гамильтона.

Действительно, положим

3 {X, Г у) =25? (X) ехр [ia (fy)], (5.3,12)

где целое число а определяется на следующем шаге вычисления приближений, а (X) - однородные полиномы степени 3/2 относительно Xi, ..., Хп. Определив

Яз (X, у) = Язз (Х) + Язр (X, у), (5.3.13)

получаем

, (5.3.14)

2 - ax,

где Л4 (X) - коэффициенты при членах с критическим аргументом a/V в Hi. Видно, что дополнительные особенности могут появиться в окрестности и в самой точке X = X, такой, что

=0, (5.3.15)

однако в обгцем случае этого не произойдет. Таким образом, решение получается введением на каждом шаге произвольной функции Fp (Х, fy) в Sp (X, у), которая должна определяться на следующем шаге. Возможно также, что «секулярная» часть функции Яз или некоторого другого приближения окажется равной нулю. В этом случае приходится вводить секулярную часть из более высокого приближения, увеличив, таким образом, размеры соответствующих членов в рядах, что, тем не менее, будет полезно во многих задачах.

Если Яз, = О, то, подставляя вместо этой функции функцию His, получим вместо (5.3.14) формулу

BtiX) = -±AtiX)[fu-

так что в действительности {X) является функцией второго порядка малости. Тем не менее, такие случаи и случай, когда Я3 содержит критический аргумент, являются наилучшими для применения нижеописываемого метода, согласно которому исходная система сводится к системе с одной степенью свободы, где в качестве единственной появляющейся угловой переменной берется критический аргумент. Следовательно, формально система сводится к квадратурам.

В рассматриваемом слзгчае рассмотрим сначала каноническое преобразование к новым переменным х, у по формулам

укУк (fe==l.....га -1), г/п =Mi+ ...-Ь 7„г/„,

ь=4 + /Л (А; = 1, ...,га -1), Xn=ixn (/п¥=0).

(5.3.16)

В новых переменных гамильтониан приобретает вид Н = (silxi -{- ... + (dn-iXni + 2 3 (ж) ехр iayn + Я3 Я -f- ...,

где в Яз собраны члены, не содержащие только критический аргумент Уп Записанная в новых переменных система является вырожденной. Если все Л3 (ж) не равны тождественно нулю и Яз имеет нулевую секулярную часть, то можно исключить из