|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 2bS/ = exp(eLs)/ (1.4.16) будут рходящвмися для аналитических функций /. где / = dzld%. Тогда h = JJ- (1-4.12) Теперь получаем {f, S) = JiMJl = J:,JMrJl = JzMJl = (/, S), что показывает инвариантность матрицы Р относительно канонических преобразований. Производная Ли функции /, генерируемая функцией 5, имеет вид Ls1= U,S). :(1.413J Так как Lsf является билинейной формой относительно /, S, то отсюда вытекают следующие свойства {а, - постоянные числа).: a) Ls [af + pg) = aLsf + sg, b) Ls(f-g)==f-Lsg + g-Lsf, ,(1.4.14) c) Ls(f,g) = {f,Lsg) + (Lsf,g), d) LsLsf = LsLsf + L( g.S)/. Если ввести определение Lsf = f, то п-я производная Ли будет иметь вид •а/ = LsLs */. Для этой производной легко проверить следующие свойства: a) LS(a/ + Pg) = aLS/ + pLSg, b) LS(/-g)= i СЖ/-ЬГ>, (1.4.15) С) Lsif, g)= 2 С(ь/,ьг». Если 5f - вещественная аналитическая функция, то можно выбрать такое достаточно малое число е, что ряды (1.4.17) Из последнего свойства вытекает следующее утверждение. Теорема. Пусть г - постоянный параметр. Рассмотрим преобразование z = z{t,) 2п-мерного вектора z = {y, х), где у, X- канонически сопряженные переменные, в 2п-мерный вектор t, - (r\, %). Если существует такая вещественная аналитическая функция S (z), что ряды g = ехр (8ls) Z (1.4.18) сходятся в некоторой области z-пространства, то преобразование будет каноническим. Заметим, что по существу эта теорема совпадает с теоремой Ли, сформулированной выше. Доказательство рассматриваемой теоремы немедленно следует из таких соотношений: S.t=iexp (8Ls)z, и из формулы (1.4.17), примененной к выражению (S., S,) = (ехр (8Ls)z„ ехр {eLs)z,) = exp(8Ls) (z„ z,) P(g) = exp (8Ls)P(z). Так как z - канонический набор переменных, то Р (г) = М я, следовательно, Р{) = М, т. е. 5 - также канонический набор переменных. Другим важным результатом является закон преобразования произвольной функции переменных z в функцию переменных Теорема. Образ каждой вещественЛой аналитической функции f (z) при преобразовании Z = ехр (гЬд) g (1.4.19) есть функция /(g, £)= / (ехр iгLs) g) = ехр (eL) / (S). (1.4.20) Опять нетрудно проверить следующие свойства: a) exp(«Zs) (a/ + pg) = aexp(8Ls)/ + pexp(8Ls)g, b) exp(8ls) (/ • g) = exp(8Ls)/ • exp(8Ls)g, c) exp(8ls)(/, -S) = (exp(8is)/, exp(8Ls)g). где d/Zcz - строчная матрица Wdf/dzW, а Lgz-матрица-столбец IKz,,)!!. Дифференцируя (1.4.19) по 8, находим и, следовательно, получаем 5/ dz df 6)= - Повторяя эту процедуру п раз, находим или из (1.4.20) LS/"(g,0) = /(?). (1.4.22) э"7 ае« Следовательно, тейлоровское разложение функции / (, 8) имеет вид оо оо п=0 Е=0 п=0 что и завершает доказательство. Из этой последней теоремы можно получить следствие, которое в конечном счете устанавливает справедливость подхода Хори, рассматривавшего S как функцию 8. Следствие. Если функция f{z, е) допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности точки 8 О, г. е. /() = 2-S-/n(z), (1.4.23) ГО после применения канонического преобразования (1.4.19) получим 00 00 / (Z (g, в), 6) = 2 2 CnLtU-m (?)• (1.4.24) п=0 т=0 3 г. Е. О. Джакалья Действительно, L~f{,B) = L,z, (1.4.21) 0 1 2 3 4 5 6 7 [8] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0156 |
|