Доставка цветов в Севастополе: SevCvety.ru
Главная -> Методы теории возмущений

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104

= 2 о>А + к,{х, П) + ...

fe=i

Принимая во внимание уменьшение порядка на две единицы при каждом дифференцировании по X, для первых нескольких

гамильтониана только углы Уи г/п-ь т. е. углы, соответствующие имеющимся в Яг импульсам. Теперь, опуская штрихи при переменных, функцию Я можно записать в новом виде

Я = щх, + ... + cu„ ia;„ i + 2 3 (х) ехр iay +

+ HUw,y) + H,{x, у)+ (5.3.17)

где функция Яз может быть записана следующим образом: я; = 2 3 {х) ехр [i (vi?/i + ... + v„?/„)];

при этом целые числа vi, ..., Vn-i не обращаются одновременно в нуль, если v„ ф 0. Следовательно, в силу сделанного предположения о единственности набора ненулевых одновременно целых чисел, удовлетворяющих соотношению (5.3.1), условие vicoi--...--v„tt)„ = О не может быть выполнено ни для одного набора целых чисел v= (vi, ..., v„) из, Яз.

Теперь только необходимо потребовать, чтобы новый гамильтониан К, записанный в новых переменных X, Y, представлялся рядом

вообще говоря, формальным, так что Xi, ..., Xn-i являются постоянными, и система имеет единственную степень свободы. Производящая функция опять определяется формальным рядом

S = Xy + S,{X, y) + S,{X, у)+..., а соответствующее преобразование имеет вид

что, как и всегда, дает К2 = (inXi-{-.. .-{-atn-iXn-u

Рассмотрим тейлоровское разложение обобщенного уравнения Гамильтона - Якоби



2Н, (X, у) dS, „ .у „V

дК{Х, у„)

На каждом шаге, очевидно, соответствуюш;ее уравнение можно записать в виде

2 »ft 1? + ) + 2 () ехр (ссг/J = ifp (ЛГ, г/„),

(5.3.18)

где функция обладает теми же свойствами, что и описанная ранее функция Яз в (5.3.17). Определим функцию в виде

ifр {X, у,) = Hi (Х) + 2 Af {X) ехр iiay,), (5.3.19)

h;==h;s{X) + hp{x, у).

Тогда функция Sft определяется как решение уравнения

щ + н;,(х,у) = о.

в котором в силу сделанного выбора функции Яр нет ни одного нулевого делителя. Такая частичная нормализация может быть

приближений получаем

h=i Ь

Угл L V 3 У) л Н (Y ,А -

~Л4(А, г/Л

У\,-, . V дН, {X, у) ds, 1 у дт, {X, у) dSs ds.



осуществлена до приближения любого порядка, так что мы можем записать новый гамильтониан в виде

К = Ъ(оА + КАХ, Yn) + .-.+KAX, Yn) + 0{\X\+),

fe=i

и с точностью до 0{\Хf) соответствующая система может быть проинтегрирована в квадратурах.

4. Эквивалентность проблеме возмущения линейных систем

Легко установить связь между результатами предыдущего параграфа и классической задачей возмущения линейных систем, изученной в работах Чезари [15], Хейла [40] и некоторых других авторов. Действительно, рассмотрим уравнения (5.2.6), переписанные в виде

О 1»гут)\

V-/ о

I о I \! дАН \т

+ [-1 о)[д{ц,1))

(5.4.1>

где АН = Яз -f Я4 +• • • Введем линейное преобразование

(5.4.2)

или обратное ему

1 (iD -W

2\-I -I

(5.4.3)

где z - вектор размерности 2п. Отсюда следует, что z удовлетворяет уравнению

fiD 0\ ( О I

( о \

[о D-l

или (&=!,..., га)

Ч = i<k4 + fk (z), Zn+i = - mhZn+k + fn+k (z).

, 2i дАН

~ CO, dz

fn+h--

2i дАН

•k h

(5.4.4) (5.4.5)

"k "-n+k

Следует заметить, что уравнения (5.4.4) можно переписать



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104



0.0197
Яндекс.Метрика