|
Главная -> Методы теории возмущений 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 = 2 о>А + к,{х, П) + ... fe=i Принимая во внимание уменьшение порядка на две единицы при каждом дифференцировании по X, для первых нескольких гамильтониана только углы Уи г/п-ь т. е. углы, соответствующие имеющимся в Яг импульсам. Теперь, опуская штрихи при переменных, функцию Я можно записать в новом виде Я = щх, + ... + cu„ ia;„ i + 2 3 (х) ехр iay + + HUw,y) + H,{x, у)+ (5.3.17) где функция Яз может быть записана следующим образом: я; = 2 3 {х) ехр [i (vi?/i + ... + v„?/„)]; при этом целые числа vi, ..., Vn-i не обращаются одновременно в нуль, если v„ ф 0. Следовательно, в силу сделанного предположения о единственности набора ненулевых одновременно целых чисел, удовлетворяющих соотношению (5.3.1), условие vicoi--...--v„tt)„ = О не может быть выполнено ни для одного набора целых чисел v= (vi, ..., v„) из, Яз. Теперь только необходимо потребовать, чтобы новый гамильтониан К, записанный в новых переменных X, Y, представлялся рядом вообще говоря, формальным, так что Xi, ..., Xn-i являются постоянными, и система имеет единственную степень свободы. Производящая функция опять определяется формальным рядом S = Xy + S,{X, y) + S,{X, у)+..., а соответствующее преобразование имеет вид что, как и всегда, дает К2 = (inXi-{-.. .-{-atn-iXn-u Рассмотрим тейлоровское разложение обобщенного уравнения Гамильтона - Якоби 2Н, (X, у) dS, „ .у „V дК{Х, у„) На каждом шаге, очевидно, соответствуюш;ее уравнение можно записать в виде 2 »ft 1? + ) + 2 () ехр (ссг/J = ifp (ЛГ, г/„), (5.3.18) где функция обладает теми же свойствами, что и описанная ранее функция Яз в (5.3.17). Определим функцию в виде ifр {X, у,) = Hi (Х) + 2 Af {X) ехр iiay,), (5.3.19) h;==h;s{X) + hp{x, у). Тогда функция Sft определяется как решение уравнения щ + н;,(х,у) = о. в котором в силу сделанного выбора функции Яр нет ни одного нулевого делителя. Такая частичная нормализация может быть приближений получаем h=i Ь Угл L V 3 У) л Н (Y ,А - ~Л4(А, г/Л У\,-, . V дН, {X, у) ds, 1 у дт, {X, у) dSs ds. осуществлена до приближения любого порядка, так что мы можем записать новый гамильтониан в виде К = Ъ(оА + КАХ, Yn) + .-.+KAX, Yn) + 0{\X\+), fe=i и с точностью до 0{\Хf) соответствующая система может быть проинтегрирована в квадратурах. 4. Эквивалентность проблеме возмущения линейных систем Легко установить связь между результатами предыдущего параграфа и классической задачей возмущения линейных систем, изученной в работах Чезари [15], Хейла [40] и некоторых других авторов. Действительно, рассмотрим уравнения (5.2.6), переписанные в виде О 1»гут)\ V-/ о I о I \! дАН \т + [-1 о)[д{ц,1)) (5.4.1> где АН = Яз -f Я4 +• • • Введем линейное преобразование (5.4.2) или обратное ему 1 (iD -W 2\-I -I (5.4.3) где z - вектор размерности 2п. Отсюда следует, что z удовлетворяет уравнению fiD 0\ ( О I ( о \ [о D-l или (&=!,..., га) Ч = i<k4 + fk (z), Zn+i = - mhZn+k + fn+k (z). , 2i дАН ~ CO, dz fn+h-- 2i дАН •k h (5.4.4) (5.4.5) "k "-n+k Следует заметить, что уравнения (5.4.4) можно переписать 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [80] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 0.0197 |
|