в виде (А = 1, ..., п) где

я = у 2 «ft2ftZ„+ft + АН.

в любом случае уравнение для фундаментальной матрицы решенпй уравнений (5.4.4) можно записать так:

2 = AZ + 0{Z), (5.4.7)

где Ф (Z) - матрица, элементами которой являются ряды из однородных полиномов степени не ниже 3/2. В используемых здесь обозначениях

Ф = Фз + Ф4+. . .

Теперь можно представить метод усреднения, описанный в предыдущем параграфе, с помощью следующей процедуры последовательных приближений. Пусть в - постоянная диагональная матрица с неизвестными элементами Ял (& = 1, ..., 2п). Тогда можно положить

B=diag (гть ..., ix„, -ixi, -гт„)\

где неизвестные постоянные xi, ..., т„ должны определяться в результате использования метода усреднения. Определим допо.л-нительное уравнение

Z = BZ + G{Z), (5.4.8)

G{Z) =Ф(Z) + (А -B)Z. (5.4.9)

Видно, что при G{Z) = О решение уравнения (5.4.8) имеет вид

Z<o> = е-С, (5.4.10)

где с - постоянная матрица, которую можно положить равной единичной матрице.

Введем преобразование

Z = еУ,

так что уравнение (5.4.8) переходит в уравнение

7 = е-С(еУ), (5.4.11)

где У<° = const - приближение нулевого порядка. Вообще говоря, нельзя считать, что в интеграле от функции е~"С(е°У°)

так что матрица

M{t) -P[M{t)] ={J-P)M{t)

является условно-периодической или, в исключительных случаях, периодической. Таким образом, мы получаем уравнение

Г<1) (/ -P)e-G(e«F<"),

интегрирование которого дает условно-периодическую матрицу. В общем случае мы определим процедуру последовательных приближений и усреднения формулой

Возвращаясь к матрице Z, получаем

Zim) BtyW j Bt j ( j -BB (C"-)) + (л b) z"] dQ.

(5.4.12)

Если процедура сходится, то последовательность Z"" будет иметь предел Z, удовлетворяющий интегральному уравнению

Z = е- + е j (/ - ) [Ф (Z) + {А - В) Z] dQ.

Дифференцируя последнее уравнение, получаем

Z = BeY + B{Z~ e-YO + А- - Р) е"" [Ф() + ( - Щ Z] или

Z = 4Z-f 0(Z) -eP{e-[Ф{Z) + {A~B)Z]}, что является решением уравнения (5.4.7) тогда и только тогда,

не будет содержаться секулярных членов. Надо считать, что секулярные члены будут присутствовать в таком интеграле наряду с условно-периодическими функциями времени t (иредно-лагается, что величины ti, ..., т„ линейно независимы на множестве целых чисел).

Тогда определим операцию усреднения

Р[Л/(0] = Ит С М(0 dt,

когда выполнено равенство

Р{е~[Ф{г) + {А-В)г]} = О

lim 4г f е~\Ф (Z {t)) + (A-B)Z (t)] dt = 0. (5.4.13)

До сих нор не была показана ни сходимость, ни расходимость метода последовательных приближений, определяемых уравнением (5.4.12). Теорему о сходимости, доказанную Чезари [15] и Хейлом [40] ири более общих иредноложениях для определения периодических решений, в этом случае не так просто обобщить, так как принцип сжатия, который позволяет применить теорему Банаха о неподвижной точке, здесь очевидно не выполняется. Действительно, полнота пространства всех условно-нериодических функций очевидно не имеет места. В этом случае похоже, что можно применить непосредственный путь доказательства, аналогично тому, как этог было сделано Чезари [15]. По нашему мнению, этот метод будет сходящимся, по крайней мере для множества частот oji, . .., (Оп, удовлетворяющих соответствующему условию иррациональности и, возможно, за исключением некоторого конечного числа соотношений между со, которые привели бы к классической задаче о параметрической неустойчивости (см. [60, 31, 37]).

В нокомионентной форме уравнение (5.4.12) можно переписать так:

Z[f = e"ft*zi° + е"* f (/ - Р) е""** [Ф,; (z""-) +

+ т,) ZiT"-] dQ,

а условием (5.4.13) определяются постоянные Zj, и оно должно быть сведено к системе уравнений относительно неизвестных Tl, ..., Гп, выражающихся через coi, . .., со„. Эквивалентные соотношения для исходной системы (5.4.4) имеют вид

4™) = егТ + eliJ - Р) е- [/, (z"")) +

+ i (fflft - Т~Л dQ,

гГ+. = е--* V, + е-Ц (/ - Р) е [/„+, (z"-) -

-i((o,-T,)z„V] dQ,