или ДЛЯ вектора z

z"" = еУ + е I (J - Р) е~ [/ (z™-) + [А - В) г*"-] dQ.

(5.4.14)

Тот факт, что близкие к линейным целочисленные соотношения между частотами coi, ..., со„ могут привести (и в самом деле приводят) к появлению если и не нулевых, то по крайней мере малых делителей, немедленно следует из результата применения оператора P[f{t)] к функции /(t) = ехрf(A;ii/i--• • • ... 4- кпУп), где г/ь== coit-f- yl {к = 1, ...,п).

Хейл (см. [49.2]) доказал существование ночти-периодиче-ских решений системы уравнений

У = Ау + q{t,y, г) (5.4.15)

при условии, что функции q - почти-пернодпческие относительно t, а система у = Лу-некритическая, т. е. все собственные числа матрицы А имеют ненулевые вещественные части. Рассматриваемый здесь случай очевидно соответствует критической системе, хотя можно найти такое преобразованпе, которое делает все элементы диагональной матрицы вещественными. Для некритических случаев можно показать существование почти-не-риодпческих решений (относительно t) уравнений (5.4.15) с темп же частотами, что и у функции q. Для динамических систем этот результат очень важен при изучении возмущений ноч-ти-периодических решений. Если получающаяся вариационная система нормализована до членов второго порядка, и в результате получается некритическая система, то ночти-периодические решения будут существовать в соответствующим образом ограниченной окрестности исходного решения. Аналогичные проблемы возникают и при исследовании устойчивости по Ляпунову, структурной устойчивости относительно возмущений, а также прп изучении свойств инвариантных (или интегральных) многообразий. Основные результаты в этой области получили Дилиберто [27], Боголюбов и Митропольский [12]. Основные результаты, касающиеся условно-периодических решений, получили Малкин [56, 57] и Розе [71].

5. Нелинейный резонанс

До сих пор мы имели дело с задачей построения решения в окрестности положения равновесия, начиная эти построения с линейных гармонических колебаний, соответствующих нормальным колебаниям. Теперь мы займемся более общей задачей, т. е.

будем считать исходный осциллятор нелинейным в том смысле, что частоты зависят от амплитуд. Как упоминалось выше, некоторые аспекты этой проблемы рассмотрел Пуанкаре [68], осуществивший идеи, которые предложил Бохлин [13].

Изучение нелинейного осциллятора и выяснение эффектов влияния на него возмущений потребует точного знания всех особых точек фазового пространства, определения сепаратрис, седел и центров, а также областей колебательного или вращательного характера движения. Разумеется, все эти понятия широко известны, и их подробное описание можно найти, например, в работах [64, 74, 54, 65, 28, 2]. Эти книги являются основными также и для большинства других обсуждаемых в этой главе вопросов, хотя работы Мозера [61-63] наиболее близки к излагаемым здесь вопросам. Ряд ценных замечаний относительно рассматриваемых вопросов содержится в работе Кинера [52], но, к сожалению, она малодоступна.

Рассмотрим сначала автономную гамильтонову систему, определяемую гамильтонианом Я (, р) в некоторой области D фазового пространства. В области D функция Н имеет конечное число особых точек (типа центр или седло). Здесь сепаратрисы определяются просто как траектории, соединяющие (в предельном смысле) две седловые точки, которые могут в конечном счете совпасть. Во внутренней но отношению к сепаратрисе области всегда существует центр. Для систем с числом степеней свободы, большим единицы, некоторые из этих понятий сразу же обобщить нельзя. В предыдущих параграфах мы описали получение решений в виде рядов (в конечном счете, только формальных), описывающих движение в окрестности устойчивого положения равновесия. Здесь мы до некоторой степени расширим задачу, получив формальные ряды, описывающие решение в окрестности центра (т. е. в колебательной области) и в окрестности вращательного движения (т. е. во вращательной области). В нервом случае одна или более угловых неременных ограничены теми или иными пределами в общем интервале, меньшем чем 2л, в то время как во втором случае все угловые неременные не-ограничены.

Мы предположим, что гамильтониан можно разбить на конечное или счетное число частей, т. е.

Я = Яо + Я1 + Яг +...,

где для простоты будем считать 11=0{г), хотя наличие «малого параметра» е несущественно. Тем не менее, его использование упрощает вывод многих формул. Мы также будем рассматривать следующие предположения.

а) Движение с функцией Гамильтона Но является интегрируемым и, следовательно, если надо, ее можно записать в виде функции только импульсов (или координат).

б) Функции Н{к>0) состоят из конечного числа членов вида

Ни = 11 At ip) ехр i (vgi + ... + vgj.

в) Множества инвариантных многообразий систем уравнений с функциями Гамильтона Н и Но соответственно не сильно отличаются друг от друга. Другими словами, предполагается, что существует непрерывное преобразование, переводящее одно множество в другое и такое, что при е->-0 оно становится тождественным.

Последнее иредноложение, по существу, совпадает с утверждением теоремы Колмогорова, в которой, разумеется, должна быть еще исключена линейная зависимость между частотами движения, соответствующего гамильтониану Но. Так как эти частоты иреднолагаются непрерывно зависящими от амплитуд, то можно исключить такое множество начальных условий, которое приводит к различного рода «неприятностям». Вопрос теперь заключается в том, как можно описать движение в окрестности резонансной области (критической точки).

Сначала мы изучим системы с одной степенью свободы, т. е. системы, которые в принципе сводятся к квадратурам. Следовательно, это рассмотрение служит только для целей дальнейшего обобщения результатов.

Итак, пусть дан гамильтониан

Н = Hoip) + Я, (р, q) -f Hip, q) +.. . со скалярными величинами р, q, аЯй=0(е),Я=2Лл (р) ехр (ivg).

Предполагается, что функция Я аналитична в некоторой области D фазового пространства (р, q) и что ири е = О имеем dHoJdp - О ири р = poD и й = 1, ..., тп (тп - конечное число).

Мы также иредноложим, что ири е =7 О гамильтониан имеет точку минимума, т. е. можно решить систему

дН{р,д) £i£ij).=o, (5.5.1)

и ее гессиан будет отличен от нуля в окрестности некоторого решения этой системы (5.5.1). В силу сделанных предположений система (5.5.1) имеет по крайней мере два решения: максимум и минимум в области D). Пусть точка минимума определяется

) Это следует из периодичности гамильтониана относительно q {прим. перев.). ,.